Calculer une longueur dans le plan sans coordonnées de vecteurs Exercice

D'après le cours :

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

Alors : 
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=\begin{cases}AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}

Et :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)

Ici, on a :

• AB=8
• CB=6
• AC=4

 

Comme \overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times AB
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times 8

De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 4^2+8^2-6^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 16+64-36\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 44 \right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=22

En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AH\times 8=22
AH=\dfrac{22}{8}

D'après le cours :

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

Alors : 
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=\begin{cases}AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}

Et :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)

Ici, on a :

• AB=15
• CB=9
• AC=3

 

Comme \overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times AB
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times 15

De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 3^2+15^2-9^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 9+225-81\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 153 \right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=76{,}5

En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AH\times 15=76{,}5
AH=\dfrac{76{,}5}{15}

D'après le cours :

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

Alors : 
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=\begin{cases}AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}

Et :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)

Ici, on a :

• AB=14
• CB=12
• AC=4

 

Comme \overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times AB
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times 14

De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 4^2+14^2-12^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 16+196-144\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 68 \right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=34

En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AH\times 14=34
AH=\dfrac{34}{14}

D'après le cours :

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

Alors : 
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=\begin{cases}AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}

Et :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)

Ici, on a :

• AB=16
• CB=7
• AC=10

 

Comme \overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times AB
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times 16

De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 10^2+16^2-7^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 100+256-49\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 307 \right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=153{,}5

En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AH\times 16=153{,}5
AH=\dfrac{153{,}5}{16}

D'après le cours :

Soient A, B et C trois points distincts du plan, et H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

Alors : 
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=\begin{cases}AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de même sens}\\-AH\times AB \text{ si }\overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB}\text{ sont de sens contraires}\end{cases}

Et :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\| \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right\|^2\right)=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)

Ici, on a :

• AB=13
• CB=9
• AC=5

 

Comme \overrightarrow{AH}\text{ et }\overrightarrow{AB} sont de même sens, d'après le premier point de cours, on a :
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times AB
\overrightarrow{AC}\cdot~\overrightarrow{AB}=AH\times 13

De plus, d'après le deuxième point de cours :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2+\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2-\left\|\overrightarrow{CB} \right\|^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 9^2+13^2-5^2\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 81+169-25\right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left( 225 \right)
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=112{,}5

En posant l'égalité des produits scalaires, on obtient :
AH\times 13=112{,}5
AH=\dfrac{112{,}5}{13}