Calculer une longueur dans l'espace à l'aide des coordonnées des vecteurs Exercice

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Dernière modification : 15/10/2020 - Conforme au programme 2025-2026

Dans le repère A(x, y, z), soit ABCDHGFE un parallélépipède.

Quelle est la valeur de la longueur BH ?

BH = \sqrt{38}

BH = 6

BH = \sqrt{42}

BH = \sqrt{51}

D'après le cours :

Soient A(x_A;y_A; z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l'espace.

Alors :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}

Ici, dans le repère A(x, y, z), on a :

B\begin{pmatrix} 2 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}
H\begin{pmatrix} 0 \cr 5 \cr 3 \end{pmatrix}

Donc :
BH=\sqrt{\left(x_H-x_B\right)^2+\left(y_H-y_B\right)^2+\left(z_H-z_B\right)^2}
BH=\sqrt{\left(0-2\right)^2+\left(5-0\right)^2+\left(3-0\right)^2}
BH=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(5\right)^2+\left(3\right)^2}
BH=\sqrt{4+25+9} = \sqrt{38}

Ainsi, BH = \sqrt{38}.

Dans le repère O(x, y, z), soit OABCDEFG un parallélépipède.

Quelle est la valeur de la longueur BF ?

BF=\sqrt{139}

BF=12

BF=\sqrt{165}

BF=\sqrt{108}

D'après le cours :

Soient A(x_A;y_A; z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l'espace.

Alors :

AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}

Ici, dans le repère O(x, y, z), on a :

B\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}
F\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 9 \cr\cr 7 \end{pmatrix}

Donc :
BF=\sqrt{\left(x_F-x_B\right)^2+\left(y_F-y_B\right)^2+\left(z_F-z_B\right)^2}
BF=\sqrt{\left(0-3\right)^2+\left(9-0\right)^2+\left(7-0\right)^2}
BF=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(9\right)^2+\left(7\right)^2}
BF=\sqrt{9+81+49}

Ainsi, BF=\sqrt{139}.

Dans le repère O(x, y, z), soit OABCDEFG un parallélépipède.

Quelle est la valeur de la longueur DG ?

DG=3\sqrt{10}

DG=9

DG=\sqrt{139}

DG=9\sqrt{10}

D'après le cours :

Soient A(x_A;y_A; z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l'espace.

Alors :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}

Ici, dans le repère O(x, y, z), on a :

D\begin{pmatrix} 3 \cr 9 \cr 7 \end{pmatrix}
G\begin{pmatrix} 0 \cr 0 \cr 7 \end{pmatrix}

Donc :
DG=\sqrt{\left(x_G-x_D\right)^2+\left(y_G-y_D\right)^2+\left(z_G-z_D\right)^2}
DG=\sqrt{\left(0-3\right)^2+\left(0-9\right)^2+\left(7-7\right)^2}
DG=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-9\right)^2+\left(0\right)^2}
DG=\sqrt{9+81}=\sqrt{90} =\sqrt{9} \times \sqrt{10}=3 \sqrt{10}

Ainsi, DG=3\sqrt{10}.

Dans le repère O(x, y, z), soit OABCDEFG un parallélépipède.
On place le point I milieu du segment [BF].

Quelle est la valeur de la longueur IC ?

IC=\dfrac{\sqrt{139}}{2}

IC=\sqrt{139}

IC=6

IC=\dfrac{\sqrt{139}}{\sqrt{2}}

Dans cette question, il faut commencer par trouver les coordonnées du point I.

I étant le milieu du segment [BF], on a :
I\begin{pmatrix} x_I \cr y_I \cr z_I \end{pmatrix} \: = \: \begin{pmatrix} \dfrac{x_F + x_B}{2} \cr \dfrac{y_F + y_B}{2} \cr \dfrac{z_F + z_B}{2} \end{pmatrix}

De plus, par lecture de la figure ci-dessus :

B\begin{pmatrix} 3 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}
F\begin{pmatrix} 0 \cr 9 \cr 7 \end{pmatrix}

Donc les coordonnées de I sont :
I\begin{pmatrix} 3/2 \cr 9/2 \cr 7/2 \end{pmatrix}

Les coordonnees de C sont :
C\begin{pmatrix} 3 \cr 9 \cr 0 \end{pmatrix}

D'après le cours :

Soient A(x_A;y_A; z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l'espace.

Alors :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}

Donc :
IC=\sqrt{\left(x_C-x_I\right)^2+\left(y_C-y_I\right)^2+\left(z_C-z_I\right)^2}
IC=\sqrt{\left(3-3/2\right)^2+\left(9-9/2\right)^2+\left(0-7/2\right)^2}
IC=\sqrt{\left(3/2\right)^2+\left(9/2\right)^2+\left(-7/2\right)^2}
IC=\sqrt{\dfrac{9+81+49}{4}}=\dfrac{\sqrt{139}}{2}

Ainsi, IC=\dfrac{\sqrt{139}}{2}.

Dans le repère O(x, y, z), soit OABCDEFG un parallélépipède.
On place le point I milieu du segment [BF], et le point J le milieu du segment [DE].

Quelle est la valeur de la longueur IJ ?

IJ=\dfrac{9}{2}

IJ= \dfrac{\sqrt{139}}{2}

IJ= 9

IJ= \sqrt{139}

Dans cette question il faut commencer par trouver les coordonnees des point I et J.

I étant le milieu du segment [BF], on a :

I\begin{pmatrix} x_I \cr y_I \cr z_I \end{pmatrix} \: = \: \begin{pmatrix} \dfrac{x_F + x_B}{2} \cr \dfrac{y_F + y_B}{2} \cr \dfrac{z_F + z_B}{2} \end{pmatrix}

De plus, par lecture de la figure ci-dessus :

B\begin{pmatrix} 3 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}
F\begin{pmatrix} 0 \cr 9 \cr 7 \end{pmatrix}

Donc les coordonnées de I sont :
I\begin{pmatrix} 3/2 \cr 9/2 \cr 7/2 \end{pmatrix}

J étant le milieu du segment [DE], on a :
I\begin{pmatrix} x_J \cr y_J \cr z_J \end{pmatrix} \: = \: \begin{pmatrix} \dfrac{x_D + x_E}{2} \cr \dfrac{y_D + y_E}{2} \cr \dfrac{z_D + z_E}{2} \end{pmatrix}

De plus, par lecture de la figure ci-dessus :

D\begin{pmatrix} 3 \cr 9 \cr 7 \end{pmatrix}
E\begin{pmatrix} 0 \cr 9 \cr 0 \end{pmatrix}

Donc les coordonnées de J sont :
J\begin{pmatrix} 3/2 \cr 9 \cr 7/2 \end{pmatrix}

D'après le cours :

Soient A(x_A;y_A; z_A) et B(x_B;y_B;z_B) deux points de l'espace.

Alors :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2+\left(z_B-z_A\right)^2}

Donc :
IJ=\sqrt{\left(x_J-x_I\right)^2+\left(y_J-y_I\right)^2+\left(z_J-z_I\right)^2}
IJ=\sqrt{\left(3/2-3/2\right)^2+\left(9-9/2\right)^2+\left(7/2-7/2\right)^2}
IJ=\sqrt{\left(0\right)^2+\left(9/2\right)^2+\left(0\right)^2}
IJ=\sqrt{\dfrac{81}{4}}=\dfrac{9}{2}

Ainsi, IJ=\dfrac{9}{2} .