On considère un triangle ABC défini par les points :
A (0;4)
B (-2;0)
C (8;-2)
Quelle est l'équation de la médiane passant par C et le milieu de [AB] ?
Il faut commencer par calculer les coordonnées de I, le milieu de [AB].
Pour cela, il suffit de faire la somme des coordonnées de A et B et de diviser par 2 :
I \begin{pmatrix} \dfrac{x_A + x_B}{2} \cr \dfrac{Y_A + Y_B}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\cr 2 \end{pmatrix}
On peut maintenant déterminer l'équation cartésienne de (IC) :
M (x;y) \in (CI) \Leftrightarrow \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{CI} sont colinéaires.
Avec :
\overrightarrow{CM} \begin{pmatrix} x-8\cr y+2\end{pmatrix}
\overrightarrow{CI} \begin{pmatrix} -9 \cr 4 \end{pmatrix}
Par définition de la colinéarité :
M (x;y) \in (CI) \Leftrightarrow \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{CI} sont colinéaires \Leftrightarrow x_{CM}y_{CI} -x_{CI}y_{CM} =0 \Leftrightarrow 4(x-8)-(-9(y+2)) = 0 \Leftrightarrow 4x +9y -14= 0
L'équation cartésienne de la médiane de C est donc :
4x +9y -14= 0
Quelle est l'équation de la médiane passant par A et le milieu de [BC] ?
De manière analogue à la question précédente, il faut commencer par calculer les coordonnées de I', le milieu de [BC].
Pour cela, il suffit de faire la somme des coordonnées de B et C et de diviser par 2 :
I' \begin{pmatrix} \dfrac{x_B + x_C}{2} \cr \dfrac{Y_B + Y_C}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cr -1 \end{pmatrix}
On peut maintenant déterminer l'équation cartésienne de (I'A) :
M (x;y) \in (AI') \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AI'} sont colinéaires.
Avec :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix} x\cr y-4\end{pmatrix}
\overrightarrow{AI'} \begin{pmatrix} 3 \cr -5 \end{pmatrix}
Par définition de la colinéarité :
M (x;y) \in (AI') \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AI'} sont colinéaires \Leftrightarrow x_{AM}y_{AI'} -x_{AI'}y_{AM} =0 \Leftrightarrow -5x-(3 \times (y-4)) = 0 \Leftrightarrow -5x -3y +12 = 0 .
L'équation cartésienne de la médiane de A dans le triangle ABC est donc :
-5x -3y +12 = 0
Quelles sont les coordonnées de G, le centre de gravité du triangle ABC, c'est-à-dire le point d'intersection de ses médianes ?
Le point G vérifie :
G \in (AI')
G \in (CI)
Donc les coordonnées satisfont les deux équations cartésiennes trouvées aux questions précédentes. Ainsi, pour déterminer les coordonnées de G, on résout le système constitué des équations de droite des médianes :
\{ \begin{array}{rcl} 4x+9y-14=0 \\ -5x-3y+12=0 \end{array}\}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} 20x+45y-70+(-20x-12y+48)=0 \\ -5x-3y+12=0 \end{array}\right. en faisant l'opération : 5L1+4L2
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} 33 y=22 \\ -5x-3y+12=0 \end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} y=\dfrac{22}{33} \\ -5x=3\times\dfrac{22}{33} -12 \end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} y=\dfrac{2}{3} \\ -5x=-10 \end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} y=\dfrac{2}{3} \\ x=\dfrac{10}{5} \end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} y=\dfrac{2}{3} \\ x=2 \end{array}\right.
G a donc pour coordonnées : 2 ; \dfrac{2}{3} .