Calculer une longueur dans le plan à l'aide des coordonnées des vecteurs Exercice

On sait que si A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) sont deux points d'un même plan, alors :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}

Ici, dans le repère orthonormé, on a :

• A( -2 ; -2 )
• B( 2 ; 0 )

 

Donc :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}
AB=\sqrt{\left(2-(-2)\right)^2+\left(0-(-2)\right)^2}
AB=\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(0+2\right)^2}
AB=\sqrt{\left(4\right)^2+\left(2\right)^2}
AB=\sqrt{16+4}
AB=\sqrt{20}

Dans cette question, on ne dispose pas des coordonnées de H directement. Il faut donc les calculer.

On sait que : 
H \in (AB) donc \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} sont colinéaires.

Donc leurs coordonnées sont proportionnelles.

Il existe donc un réel z tel que :
\overrightarrow{AH} = z\times \overrightarrow{AB}
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \cr y_B - y_A \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \cr 2 \end{pmatrix}

Donc :
\overrightarrow{AH}=z \times \begin{pmatrix} 4 \cr 2 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x_H \cr y_H \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4z -2 \cr 2z -2 \end{pmatrix}

De plus, H est le projeté orthogonal de C sur (AB) , donc \overrightarrow{CH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x_H+2 \cr y_H -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \cr 2 \end{pmatrix} = 0 \Leftrightarrow 4x_H +8 +2y_H -4 = 0  

En remplaçant par les résultats trouvés précédemment :
4(4z-2)+2(2z-2) +4 = 0 \Leftrightarrow 20z =  8 \Leftrightarrow z= \dfrac{2}{5}
x_H = \dfrac{4 \times 2}{5} -2 = \dfrac{-2}{5}
y_H = \dfrac{2\times 2}{5} -2 = \dfrac{-6}{5}

Finalement : 
CH=\sqrt{\left(x_H-x_C\right)^2+\left(y_H-y_C\right)^2} = \sqrt{(\dfrac{-2}{5}+2)^2+(\dfrac{-6}{5}-2)^2} = \sqrt{ \dfrac{64}{25} + \dfrac{256}{25} } = \sqrt{\dfrac{64}{5}} = \dfrac{8}{\sqrt{5}}

On sait que si A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) sont deux points d'un même plan, alors :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}

Ici, dans le repère orthonormé, on a :
A \: (4;8)
B \: (-2 ; -6)

Donc :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}
AB=\sqrt{\left(-2-4\right)^2+\left(-6-(8)\right)^2}
AB=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-14\right)^2}
AB=\sqrt{36+196}
AB=\sqrt{232}=2\sqrt{58}

On sait que si C(x_C;y_C) et D(x_D;y_D) sont deux points d'un même plan, alors :
CD=\sqrt{\left(x_D-x_C\right)^2+\left(y_D-y_C\right)^2}

Ici, dans le repère orthonormé, on a :
C \: (-5;-3)
D \: (4 ; -6)

Donc :
CD=\sqrt{\left(x_D-x_C\right)^2+\left(y_D-y_C\right)^2}
CD=\sqrt{\left(4-(-5)\right)^2+\left(-6-(-3)\right)^2}
CD=\sqrt{\left(9\right)^2+\left(-3\right)^2}
CD=\sqrt{81+9}
CD=\sqrt{90}=3\sqrt{10}

C etant le milieu de [AB] , on sait que : 2AC = AB \Leftrightarrow AC=\dfrac{AB}{2}

Or, on sait que si A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) sont deux points d'un même plan, alors :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}

Ici, dans le repère orthonormé, on a :

• A( 2 ; 6)
• B( 4 ; -6)

 

Donc :
AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}
AB=\sqrt{\left(4-(2)\right)^2+\left(-6-(6)\right)^2}
AB=\sqrt{\left(2\right)^2+\left(-12\right)^2}
AB=\sqrt{4+144}
AB=\sqrt{148}
AB=\sqrt{4} \times \sqrt{37}
AB = 2\sqrt{37}

Finalement, comme C est le milieu de [AB] , AC=\dfrac{2\sqrt{37}}{2}=\sqrt{37}.