Soit ABC un triangle.
On pose :
AB=c
BC=a
AC=b
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).
Calculer AH en fonction de c et de \sin(\widehat{ABC}).
Comme H est le projeté orthogonal de A sur (BC), le triangle AHB est rectangle en H.
Or, dans un triangle rectangle :
\text{sin}(\widehat{ABH}) = \dfrac{\text{Opposé}}{\text{Hypothénuse}} = \dfrac{AH}{AB}
En multipliant par AB de chaque côté, on trouve :
AB\times \text{sin}(\widehat{ABH} = AH)
Finalement, comme H \in (BC) :
\widehat{ABH} = \widehat{ABC} donc \text{sin}(\widehat{ABH}) = \text{sin}(\widehat{ABC}
Ainsi, on a finalement :
AH = \text{sin}(\widehat{ABC}) \times c
Quelle est l'aire du triangle ABC ?
H étant le projeté orthogonal de A sur BC, le segment [AH] est une hauteur du triangle ABC.
Or, on sait que :
AIRE_{triangle} =\dfrac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2}
Donc, ici :
AIRE_{ABC} = \dfrac{BC \times AH}{2}
D'après la question précédente :
AH = \text{sin}(\widehat{ABC}) \times c
Donc, en remplaçant :
AIRE_{ABC} = \dfrac{\text{sin}(\widehat{ABC}) \times c \times a}{2}
L'aire du triangle ABC est donc :
AIRE_{ABC} = \dfrac{1}{2} ac \times \text{sin}(\widehat{ABC})
Parmi les propositions suivantes, laquelle est une relation entre les côtés du triangle et les sinus des angles opposés, ainsi que l'aire du triangle ABC ?
En reprenant la même méthode qu'aux deux questions précédentes pour les angles \widehat{ACB} et \widehat{BAC}, et par symétrie des notations, on prouve :
AIRE_{ABC} = \dfrac{1}{2} ab \times \text{sin}(\widehat{ACB}) =\dfrac{1}{2} bc \times \text{sin}(\widehat{BAC}) = \dfrac{1}{2} ac \times \text{sin}(\widehat{ABC})
Soit, en multipliant par 2 et en divisant par abc :
\dfrac{2AIRE_{ABC}}{abc} = \dfrac{\text{sin}(\widehat{BAC})}{a} =\dfrac{\text{sin}(\widehat{ABC})}{b} = \dfrac{\text{sin}(\widehat{ACB})}{c}
En passant à l'inverse, on obtient finalement une formule appelée « loi des sinus » :
\dfrac{a}{\text{sin}(\widehat{BAC})} = \dfrac{b}{\text{sin}(\widehat{ABC})} =\dfrac{c}{\text{sin}(\widehat{ACB})} = \dfrac{abc}{2 \times AIRE_{ABC}}
\dfrac{a}{\text{sin}(\widehat{BAC})} = \dfrac{b}{\text{sin}(\widehat{ABC})} =\dfrac{c}{\text{sin}(\widehat{ACB})} = \dfrac{abc}{2 \times AIRE_{ABC}}