Dans les cas suivants, déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point M sur la droite (\mathcal{D}).
(\mathcal{D}):\dfrac{1}{2}x-y+1=0
M(0;6)
Soit M un point du plan et H son projeté orthogonal sur la droite (\mathcal{D}) de vecteur directeur \overrightarrow{u}, alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0, avec a, b et c trois réels.
Alors le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite (\mathcal{D}).
Ici on a :
(\mathcal{D}):\dfrac{1}{2}x-y+1=0
Donc, un vecteur directeur de (\mathcal{D}) est :
\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}
Soit H(x_H;y_H) le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}). Alors :
\overrightarrow{MH}=\begin{pmatrix} x_H \cr\cr y_H-6 \end{pmatrix}
Et :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
\Leftrightarrow x_H+(y_H-6)\times \dfrac{1}{2}=0
\Leftrightarrow x_H+\dfrac{y_H}{2}-3=0
\Leftrightarrow y_H=-2x_H+6
Par ailleurs, le point H appartient à la droite (\mathcal{D}), donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de (\mathcal{D}). On a donc également :
\dfrac{1}{2}x_H-y_H+1=0
Pour trouver les coordonnées de H on résout alors le système suivant :
\begin{cases} y_H=-2x_H+6 \cr \cr y_H=\dfrac{x_H}{2}+1 \end{cases}
En effectuant la soustraction de la première équation par la seconde, on obtient :
\begin{cases} 2x_H+6-(\dfrac{x_H}{2}+1) =0\cr \cr y_H=\dfrac{x_H}{2}+1 \end{cases}
Soit :
\begin{cases} x_H=2 \cr \cr y_H=\dfrac{x_H}{2}+1 \end{cases}
En remplaçant x par sa valeur dans la seconde équation, on obtient :
\begin{cases} x_H=2 \cr \cr y_H=2 \end{cases}
Le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}) est donc H(2;2).
(\mathcal{D}): x-\dfrac{1}{2}y+1=0
M(1;3)
Soit M un point du plan et H son projeté orthogonal sur la droite (\mathcal{D}) de vecteur directeur \overrightarrow{u}, alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0, avec a, b et c trois réels.
Alors le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite (\mathcal{D}).
Ici on a :
(\mathcal{D}): x-\dfrac{1}{2}y+1=0
Donc, un vecteur directeur de (\mathcal{D}) est :
\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ 1\end{pmatrix}
Soit H(x_H;y_H) le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}). Alors :
\overrightarrow{MH}=\begin{pmatrix} x_H - 1 \cr\cr y_H-3 \end{pmatrix}
Et :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \times (x_H-1) + 1 \times (y_H-3) =0
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} x_H- \dfrac{1}{2} + y_H-3 =0
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} x_H + y_H- \dfrac{7}{2} =0
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} x_H + y_H = \dfrac{7}{2}
Par ailleurs, le point H appartient à la droite (\mathcal{D}), donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de (\mathcal{D}). On a donc également :
x_H -\dfrac{1}{2}y_H+1=0
Pour trouver les coordonnées de H on résout alors le système suivant :
\begin{cases} \dfrac{1}{2} x_H + y_H = \dfrac{7}{2} \cr \cr x_H -\dfrac{1}{2}y_H+1=0 \end{cases}
En effectuant (1) \Leftarrow (1) - \dfrac{1}{2} (2) , on obtient :
\begin{cases} \left( \dfrac{1}{2} x_H + y_H \right) - \dfrac{1}{2} \times \left( x_H -\dfrac{1}{2}y_H+1 \right) = \dfrac{7}{2} \cr \cr x_H -\dfrac{1}{2}y_H+1=0 \end{cases}
Soit :
\begin{cases} \dfrac{5}{4} y_H = 4 \cr \cr x_H -\dfrac{1}{2}y_H+1=0 \end{cases}
\begin{cases} y_H = \dfrac{16}{5} \cr \cr x_H -\dfrac{1}{2}y_H+1=0 \end{cases}
En remplaçant y_H par sa valeur dans la seconde équation, on obtient :
\begin{cases} y_H = \dfrac{16}{5} \cr \cr x_H -\dfrac{1}{2} \dfrac{16}{5} +1 = 0 \end{cases}
\begin{cases} y_H = \dfrac{16}{5} \cr \cr x_H = \dfrac{3}{5} \end{cases}
Le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}) est donc H \left( \dfrac{3}{5}; \dfrac{16}{5}\right) .
(\mathcal{D}): x-y-3=0
M(1;-3)
Soit M un point du plan et H son projeté orthogonal sur la droite (\mathcal{D}) de vecteur directeur \overrightarrow{u}, alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0, avec a, b et c trois réels.
Alors le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite (\mathcal{D}).
Ici on a :
(\mathcal{D}): x-y-3=0
Donc, un vecteur directeur de (\mathcal{D}) est :
\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
Soit H(x_H;y_H) le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}). Alors :
\overrightarrow{MH}=\begin{pmatrix} x_H - 1 \cr\cr y_H + 3 \end{pmatrix}
Et :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
\Leftrightarrow 1 \times (x_H-1) + 1 \times (y_H+3) =0
\Leftrightarrow x_H + y_H + 2 = 0
Par ailleurs, le point H appartient à la droite (\mathcal{D}), donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de (\mathcal{D}). On a donc également :
x_H - y_H - 3 =0
Pour trouver les coordonnées de H on résout alors le système suivant :
\begin{cases} x_H + y_H + 2 = 0 \cr \cr x_H - y_H - 3 =0 \end{cases}
En effectuant la soustraction de la première équation par la seconde, on obtient :
\begin{cases} \left( x_H + y_H + 2 \right) - \left( x_H - y_H - 3 \right) = 0 \cr \cr x_H - y_H - 3 =0 \end{cases}
Soit :
\begin{cases} 2 y_H = -5 \cr \cr x_H - y_H - 3 = 0 \end{cases}
\begin{cases} y_H = -\dfrac{5}{2} \cr \cr x_H - y_H - 3 = 0 \end{cases}
En remplaçant y_H par sa valeur dans la seconde équation, on obtient :
\begin{cases} y_H = -\dfrac{5}{2} \cr \cr x_H + \dfrac{5}{2} - 3 = 0 \end{cases}
\begin{cases} y_H = -\dfrac{5}{2} \cr \cr x_H = \dfrac{1}{2} \end{cases}
Le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}) est donc H\left( \dfrac{1}{2} ; -\dfrac{5}{2} \right) .
(\mathcal{D}): 2x+3y-2=0
M(-1;2)
Soit M un point du plan et H son projeté orthogonal sur la droite (\mathcal{D}) de vecteur directeur \overrightarrow{u}, alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0, avec a, b et c trois réels.
Alors le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite (\mathcal{D}).
Ici on a :
(\mathcal{D}): 2x+3y-2=0
Donc, un vecteur directeur de (\mathcal{D}) est :
\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}
Soit H(x_H;y_H) le projeté orthogonal de \(M\) sur (\mathcal{D}). Alors :
\overrightarrow{MH}=\begin{pmatrix} x_H + 1 \cr\cr y_H - 2 \end{pmatrix}
Et :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
\Leftrightarrow (-3) \times (x_H+1) + 2 \times (y_H-2) =0
\Leftrightarrow -3 x_H + 2 y_H -3 - 4 = 0
\Leftrightarrow -3 x_H + 2 y_H - 7 = 0
Par ailleurs, le point H appartient à la droite (\mathcal{D}), donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de (\mathcal{D}). On a donc également :
2 x_H + 3 y_H-2=0
Pour trouver les coordonnées de H on résout alors le système suivant :
\begin{cases} -3 x_H + 2 y_H - 7 =0 \cr \cr 2 x_H + 3 y_H-2=0 \end{cases}
En effectuant (1) \Leftarrow 2 \times (1) + 3 \times (2) on obtient :
\begin{cases} 2 \left( -3 x_H + 2 y_H - 7 \right) + 3 \left( 2 x_H + 3 y_H-2 \right) = 0 \cr \cr 2 x_H + 3 y_H-2=0 \end{cases}
Soit :
\begin{cases} 4 y_H - 14 + 9 y_H - 6 = 0 \cr \cr 2 x_H + 3 y_H-2=0 \end{cases}
\begin{cases} 13 y_H = 20 \cr \cr 2x_H + 3 y_H-2=0 \end{cases}
En remplaçant y_H par sa valeur dans la seconde équation, on obtient :
\begin{cases} y_H = \dfrac{20}{13} \cr \cr 2x_H + 3 \dfrac{20}{13} - 2= 0 \end{cases}
\begin{cases} y_H = \dfrac{20}{13} \cr \cr x_H = -\dfrac{17}{13} \end{cases}
Le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}) est donc H\left( -\dfrac{17}{13} ; \dfrac{20}{13} \right) .
(\mathcal{D}): -x-2y+1=0
M(-2;-1)
Soit M un point du plan et H son projeté orthogonal sur la droite (\mathcal{D}) de vecteur directeur \overrightarrow{u}, alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0, avec a, b et c trois réels.
Alors le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite (\mathcal{D}).
Ici on a :
(\mathcal{D}): -x-2y+1=0
Donc, un vecteur directeur de (\mathcal{D}) est :
\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}
Soit H(x_H;y_H) le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}). Alors :
\overrightarrow{MH}=\begin{pmatrix} x_H + 2 \cr\cr y_H +1 \end{pmatrix}
Et :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{MH}=0
\Leftrightarrow (2) \times (x_H+2) - 1 \times (y_H+1) =0
\Leftrightarrow 2 x_H - y_H +4 -1 = 0
\Leftrightarrow 2 x_H - y_H +3 = 0
Par ailleurs, le point H appartient à la droite (\mathcal{D}), donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de (\mathcal{D}). On a donc également :
-x_H-2y_H+1=0
Pour trouver les coordonnées de H on résout alors le système suivant :
\begin{cases} -x_H-2y_H+1=0 \cr \cr 2 x_H - y_H +3 = 0 \end{cases}
En effectuant (1) \Leftarrow 2 \times (1) + (2) on obtient :
\begin{cases} 2 \left( -x_H-2y_H+1 \right) + \left( 2 x_H - y_H +3 = 0 \right) = 0 \cr \cr 2 x_H - y_H +3 = 0 \end{cases}
Soit :
\begin{cases} -4 y_H +2 - y_H +3 = 0 \cr \cr 2 x_H - y_H +3 = 0 \end{cases}
\begin{cases} -5 y_H = -5 \cr \cr 2 x_H - y_H +3 = 0 \end{cases}
En remplaçant y_H par sa valeur dans la seconde équation, on obtient :
\begin{cases} y_H = 1 \cr \cr 2x_H - 1 +3 = 0 \end{cases}
\begin{cases} y_H = 1 \cr \cr x_H = -1 \end{cases}
Le projeté orthogonal de M sur (\mathcal{D}) est donc H\left(-1 ; 1 \right) .