Soient les points :
A\: (a ; 2)
B \: (5;4)
C \: (-1;6)
avec a \in \mathbb{R}
Quelle est l'équation cartésienne de la droite (AB) en fonction de a ?
Pour trouver l'équation cartésienne de la droite (AB), on commence par trouver les coordonnées d'un vecteur directeur.
\overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de (AB).
\overrightarrow{AB} a pour coordonnées :
\begin{pmatrix} x_B - x_a \cr y_B - y_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-a \cr 2 \end{pmatrix}
D'après le cours, une droite de vecteur directeur \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -b \cr a \end{pmatrix} admet pour équation :
ax +by + c = 0
Donc la droite (AB) a pour équation :
2x + (a-5)y +c = 0
De plus :
B \in (AB) donc 2x_B +(a-5)y_B +c = 0 \Leftrightarrow 10+4a-20+c=0 \Leftrightarrow c=10-4a
L'équation cartésienne de (AB) est :
2x + (a-5)y +10-4a = 0
L'équation cartésienne de (AB) est donc :
2x + (a-5)y +10-4a = 0
Soit d la droite passant par C et de vecteur directeur \overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -2 \cr -1 \end{pmatrix}.
Déterminer une condition sur a telle que d et (AB) soient parallèles.
D'après le cours, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Donc d et (AB) sont colinéaire si et seulement si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.
Or :
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires \Leftrightarrow x_{\overrightarrow{u}}y_{\overrightarrow{AB}} - x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{u}} =0 \Leftrightarrow -2\times2 - (-1)\times(5-a)=0 \Leftrightarrow -4+5-a=0 \Leftrightarrow a=1
d et (AB) sont donc parallèles pour a=1.
Quelle est l'équation de la droite passant par C et perpendiculaire à (AB) ?
Afin de trouver l'équation cartésienne d'une droite perpendiculaire à AB passant par C, on utilise le calcul vectoriel.
On sait que :
\overrightarrow{u} \: et \: \overrightarrow{v} sont orthogonaux \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =0
M \: (x;y) appartient à la droite perpendiculaire à (AB) passant par C \Leftrightarrow \: \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{AB}=0.
\Leftrightarrow (-1-x)\times (5-a) +(6-y)\times2 = 0 \Leftrightarrow (a-5)x -5+a+12-2y=0 \Leftrightarrow (a-5)x -2y+(7+a)=0
L'équation cartésienne de la droite perpendiculaire à (AB) passant par C en fonction de a est :
(a-5)x -2y+(7+a)=0
L'équation cartésienne de la droite perpendiculaire à (AB) passant par C en fonction de a est :
(a-5)x -2y+(7+a)=0