Pour chacune des équations suivantes, déterminer s'il s'agit d'une équation de cercle et, si c'est le cas, déterminer les coordonnées de son centre O ainsi que de son rayon R .
x^2 + y^2 - 6x - 4y = 3
On simplifie afin de se ramener à une équation de la forme x^2+ax+y^2+by+c = 0 .
On passe tous les termes du même côté et on regroupe les termes en x et en y. L'équation devient :
x^2 -6x + y^2 - 4y -3 = 0
Faire apparaître les identités remarquables.
On a :
- \forall x \in\mathbb{R}, x^2 - 6x = x^2 -2 \times 3x + 9 -9 = \left( x - 3 \right)^2 -9
- \forall y \in\mathbb{R}, y^2 - 4y = y^2 + 2 \times 2y + 4 - 4 = \left( y - 2 \right)^2 - 4
L'équation devient donc :
\left( x - 3 \right)^2 -9 + \left( y - 2 \right)^2 - 4 - 3 = 0
Isoler les constantes dans le membre de droite.
En isolant les constantes, on obtient :
\left( x - 3 \right)^2 + \left( y - 2 \right)^2 = 16
Conclure.
Si le membre de droite est positif, on reconnaît une équation de cercle de centre O\left(x_O; y_O \right) et de rayon R de la forme : \left(x-x_O\right)^2+\left(y-y_O\right)^2 = R^2
Si le membre de droite est négatif, il ne s'agit pas d'une équation de cercle.
L'équation est de la forme :
\left( x - 3 \right)^2 + \left( y - 2 \right)^2 = 4^2
On reconnaît l'équation du cercle de centre O\left(3; 2 \right) et de rayon R = 4 .
Il s'agit donc de l'équation du cercle de centre O\left(3; 2 \right) et de rayon R = 4 .
x^2 - x + y^2 + 6y + \dfrac{1}{4} = 0
On simplifie afin de se ramener à une équation de la forme x^2+ax+y^2+by+c = 0 .
On passe tous les termes du même côté et on regroupe les termes en x et en y. L'équation devient :
x^2 - x + y^2 + 6y + \dfrac{1}{4} = 0
Faire apparaître les identités remarquables.
On a :
- \forall x \in\mathbb{R}, x^2 - x = x^2 -2 \times \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = \left( x - \dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{1}{4}
- \forall y \in\mathbb{R}, y^2 + 6y = y^2 + 2 \times 3y + 9 - 9 = \left( y + 3 \right)^2 - 9
L'équation devient donc :
\left( x - \dfrac{1}{2} \right)^2 - \dfrac{1}{4} + \left( y + 3 \right)^2 - 9 +\dfrac{1}{4} = 0
Isoler les constantes dans le membre de droite.
En isolant les constantes, on obtient :
\left( x - \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( y + 3 \right)^2 - 9 = 0
\left( x - \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( y + 3 \right)^2 =9
Conclure.
Si le membre de droite est positif, on reconnaît une équation de cercle de centre O\left(x_O; y_O \right) et de rayon R de la forme : \left(x-x_O\right)^2+\left(y-y_O\right)^2 = R^2
Si le membre de droite est négatif, il ne s'agit pas d'une équation de cercle.
L'équation est de la forme :
\left( x - \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( y + 3 \right)^2 = 3^2
On reconnaît l'équation du cercle de centre O(\dfrac{1}{2}; -3) et de rayon R = 3 .
Il s'agit donc du cercle de centre O(\dfrac{1}{2}; -3) et de rayon R = 3 .
x^2 + y^2 + 2x + 4y = 20
On simplifie afin de se ramener à une équation de la forme x^2+ax+y^2+by+c = 0 .
On passe tous les termes du même côté et on regroupe les termes en x et en y. L'équation devient :
x^2 + 2x + y^2 + 4y - 20 = 0
Faire apparaître les identités remarquables.
On a :
- \forall x \in\mathbb{R}, x^2 + 2x = x^2 +2 \times x + 1 -1 = \left( x + 1 \right)^2 -1
- \forall y \in\mathbb{R}, y^2 + 4y = y^2 + 2 \times 2y + 4 - 4 = \left( y + 2 \right)^2 - 4
L'équation devient donc :
\left( x + 1 \right)^2 -1 + \left( y + 2 \right)^2 - 4 - 20 = 0
Isoler les constantes dans le membre de droite.
En isolant les constantes, on obtient :
\left( x + 1 \right)^2 -1 + \left( y + 2 \right)^2 = 25
Conclure.
Si le membre de droite est positif, on reconnaît une équation de cercle de centre O\left(x_O; y_O \right) et de rayon R de la forme : \left(x-x_O\right)^2+\left(y-y_O\right)^2 = R^2
Si le membre de droite est négatif, il ne s'agit pas d'une équation de cercle.
L'équation est de la forme :
\left( x + 1 \right)^2 -1 + \left( y + 2 \right)^2 = 5^2
On reconnaît l'équation du cercle de centre O(-1; -2) et de rayon R = 5 .
Il s'agit donc du cercle de centre O(-1; -2) et de rayon R = 5 .
x^2 + y^2 -4x -8y = 16
On simplifie afin de se ramener à une équation de la forme x^2+ax+y^2+by+c = 0 .
On passe tous les termes du même côté et on regroupe les termes en x et en y. L'équation devient :
x^2 -4x + y^2 -8y - 16 = 0
Faire apparaître les identités remarquables.
On a :
- \forall x \in\mathbb{R}, x^2 - 4x = x^2 -2 \times 2x + 4 -4 = \left( x - 2 \right)^2 -4
- \forall y \in\mathbb{R}, y^2 - 8y = y^2 + 2 \times 4y + 16 - 16 = \left( y +4 \right)^2 - 16
L'équation devient donc :
\left( x - 2 \right)^2 -4 + \left( y +4 \right)^2 - 16 -16 = 0
Isoler les constantes dans le membre de droite.
En isolant les constantes, on obtient :
\left( x - 2 \right)^2 -4 + \left( y +4 \right)^2 = 36
Conclure.
Si le membre de droite est positif, on reconnaît une équation de cercle de centre O\left(x_O; y_O \right) et de rayon R de la forme : \left(x-x_O\right)^2+\left(y-y_O\right)^2 = R^2
Si le membre de droite est négatif, il ne s'agit pas d'une équation de cercle.
L'équation est de la forme :
\left( x - 2 \right)^2 -4 + \left( y +4 \right)^2 = 6^2
On reconnaît l'équation du cercle de centre O(2; 4) et de rayon R = 6 .
Il s'agit donc du cercle de centre O(2; 4) et de rayon R = 6 .
x^2 + y^2 -4x + 10y = -13
On simplifie afin de se ramener à une équation de la forme x^2+ax+y^2+by+c = 0 .
On passe tous les termes du même côté et on regroupe les termes en x et en y. L'équation devient :
x^2 -4x + y^2 + 10y + 13 = 0
Faire apparaître les identités remarquables.
On a :
- \forall x \in\mathbb{R}, x^2 - 4x = x^2 -2 \times 2x + 4 -4 = \left( x - 2 \right)^2 -4
- \forall y \in\mathbb{R}, y^2 + 10y = y^2 + 2 \times 5y + 25 - 25 = \left( y +5 \right)^2 - 25
L'équation devient donc :
\left( x - 2 \right)^2 -4+ \left( y +5 \right)^2 - 25 + 13 = 0
Isoler les constantes dans le membre de droite.
En isolant les constantes, on obtient :
\left( x - 2 \right)^2 -4+ \left( y +5 \right)^2 = 16
Conclure.
Si le membre de droite est positif, on reconnaît une équation de cercle de centre O\left(x_O; y_O \right) et de rayon R de la forme : \left(x-x_O\right)^2+\left(y-y_O\right)^2 = R^2
Si le membre de droite est négatif, il ne s'agit pas d'une équation de cercle.
L'équation est de la forme :
\left( x - 2 \right)^2 -4+ \left( y +5 \right)^2 = 4^2
On reconnaît l'équation du cercle de centre O(2; -5) et de rayon R = 4 .
Il s'agit donc du cercle de centre O(2; -5) et de rayon R = 4 .