Soient f et g deux fonctions définies sur \mathbb{R} par :
f(x)=-2x^2+5x+3
g(x)= x-3
On se propose d'étudier les positions relatives de C_f et C_g les courbes représentatives des fonctions f et g.
Quelles sont les solutions de f(x)-g(x)=0 ?
D'après l'énoncé :
f(x)-g(x) = -2x^2+5x+3-(x-3) = -2x¨2 +5x+3-x+3 = -2x^2+4x+6
Ainsi, résoudre l'équation f(x)-g(x)=0 revient à résoudre l'équation du second degré :
-2x^2+4x+6=0
Calcul du déterminant :
\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times (-2)\times (6) = 16+48=64
Calcul des racines :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4-\sqrt{64}}{2\times (-2)} = \dfrac{-4-8}{-4} = 3
x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4+\sqrt{64}}{2\times (-2)} = \dfrac{-4+8}{-4} = -1
Les solutions de l'équation f(x)-g(x)=0 sont donc : S=\left \{ -1;3\right \} .
Par déduction, quel est le tableau de signes de la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x) = f(x)-g(x) ?
h est définie sur \mathbb{R}, tout comme les fonctions f et g. Ses racines ont été calculées à la question précédente et sont : -1 et 3.
De plus : h(x) = -2x^2+4x+6. h est un polynome de second degré où a=-2<0. a étant négatif, la courbe représentative de h est une parabole tournée vers le bas.
On en déduit que h est positive à l'intérieur de ses racines et négative à l'extérieur.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
Par déduction, quelles sont les positions relatives des courbes représentatives de f et g ?
D'après la question précédente, la différence entre f et g est positive sur [-1;3] et négative sinon.
Ainsi, f(x) \geq g(x) pour x\in \: [-1;3] et f(x) < g(x) sinon.
C_f est donc au-dessus de C_g sur [-1;3] et est en dessous sur ]-\infty;-1[ \cup ]3;+\infty].