On se place dans un repère orthonormé.
On place le point F tel que :
F \: (6 ; 4)
Pour tout point M \: (x;y) , quelle est la distance qui sépare M de l'axe des abscisses ?
Le point le plus proche de M sur l'axe des abscisses est son projeté orthogonal que l'on appelle H.
L'axe des abscisses étant horizontal, le point H a la même ordonnée que le point M dont il est le projeté orthogonal.
Ainsi, les coordonnées de H sont :
H \: (x;0)
On rappelle que la distance séparant deux points se calcule avec la formule :
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}
Pour rappel, il s'agit de la norme du vecteur \overrightarrow{AB} .
Donc la distance minimale entre le point M et l'axe des abscisses est :
MH = \sqrt{(x-x)^2+(0-y)^2} = y
La distance minimale entre le point M et l'axe des abscisses est y, soit l'ordonnée du point M.
Pour tout point M \: (x;y) , quelle est la valeur de MF ?
Comme pour la question précédente, on utilise la formule :
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}
Ici, on a :
F \: (6;4)
M \: (x;y)
Donc :
FM = \sqrt{(x-6)^2+(y-4)^2} = \sqrt{x^2-12x +36 + y^2 -8y +16 } = \sqrt{x^2+y^2-12x -8y + 52}
Pour tout point M \: (x;y) , la distance FM est donc :
FM = \sqrt{x^2+y^2-12x -8y + 52 }
Quel est l'ensemble C des points équidistants à F et à l'axe des abscisses ?
Soit M \: (x;y) .
M \in C \Leftrightarrow M est à la même distance de F et de l'axe des abscisses.
On appelle H le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses.
Ainsi, la distance entre M et l'axe des abscisses est MH.
Donc :
M\: \in C \Leftrightarrow MF=MH \Leftrightarrow MF^2 = MH^2 car MF et MH sont des distances supérieures à 0.
Finalement :
M \in C \Leftrightarrow MF^2 =MH^2 \Leftrightarrow x^2+y^2-12x-8y+52 = y^2 \Leftrightarrow x^2-12x-8y+52=0
La courbe C des points équidistants de F et l'axe des abscisses est donc la courbe d'équation :
x^2-12x-8y+52=0
On remarque que c'est l'équation d'une parabole.