Déterminer les points d'intersection d'une parabole et d'une droite Exercice

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P:y=-3x^2+6x-1
D:y=-3x+5

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de P et de D, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=-3x^2+6x-1 \cr \cr y=-3x+5 \end{cases}

Soit, en retirant la deuxième ligne à la première :
\begin{cases} -3x^2+6x-1=-3x+5\cr \cr y=-3x+5 \end{cases}

Soit :
\begin{cases} -3x^2+9x-6=0\cr \cr y=-3x+5 \end{cases}

Sur la première ligne du système, on retrouve un trinôme du second degré. On calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=9^2-4\times (-3) \times (-6)=81-72=9

\Delta\gt0, donc le trinôme admet deux racines réelles :

• x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-9+3}{2\times (-3)}=\dfrac{-6}{-6}=1
• x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-9-3}{2\times (-3)}=\dfrac{-12}{-6}=2

 

Le système est donc équivalent à :
\begin{cases} x=1\cr \cr y=-3\times1+5 \end{cases}  ou  \begin{cases} x=2\cr \cr y=-3\times2+5 \end{cases}

Soit :
\begin{cases} x=1\cr \cr y=2 \end{cases}  ou  \begin{cases} x=2\cr \cr y=-1 \end{cases}

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P: y=x^2-4x+2
D:y=-2x+1

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de P et de D, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=x^2-4x+2 \cr \cr y=-2x+1 \end{cases}

Soit, en retirant la deuxième ligne à la première :
\begin{cases} x^2-4x+2=-2x+1 \cr \cr y=-2x+1 \end{cases}

Soit :
\begin{cases} x^2-2x+1=0 \cr \cr y=-2x+1 \end{cases}

Sur la première ligne du système, on retrouve un trinôme du second degré. On remarque que c'est une identité remarquable, le système est donc équivalent à :
\begin{cases} (x-1)^2=0 \cr \cr y=-2x+1 \end{cases}

Le système est donc équivalent à :
\begin{cases} x=1\cr \cr y=-2\times1+1 \end{cases}   

Soit :
\begin{cases} x=1\cr \cr y=-1 \end{cases}   

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P: y=-x^2+3x-2
D:y=-4x+10

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de P et de D, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=-x^2+3x-2 \cr \cr y=-4x+10 \end{cases}

Soit, en retirant la deuxième ligne à la première :
\begin{cases} -x^2+3x-2 = -4x+10 \cr \cr y=-4x+10 \end{cases}

Soit :
\begin{cases} -x^2+7x-12 = 0 \cr \cr y=-4x+10 \end{cases}

Sur la première ligne du système, on retrouve un trinôme du second degré. On calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times (-1) \times (-12)=49-48=1

\Delta\gt0, donc le trinôme admet deux racines réelles :

• x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+1}{2\times (-1)}=\dfrac{-6}{-2}=3
• x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7-1}{2\times (-1)}=\dfrac{-8}{-2}=4

 

Le système est donc équivalent à :
\begin{cases} x=3\cr \cr y=-4\times3+10 \end{cases}  ou  \begin{cases} x=4\cr \cr y=-4\times4+10 \end{cases}

Soit :
\begin{cases} x=3\cr \cr y=-2 \end{cases}  ou  \begin{cases} x=4\cr \cr y=-6 \end{cases}

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P: y=2x^2-3
D:y=x+3

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de P et de D, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=2x^2-3 \cr \cr y=x+3 \end{cases}

Soit, en retirant la deuxième ligne à la première :
\begin{cases} 2x^2-3 = x+3 \cr \cr y=x+3 \end{cases}

Soit :
\begin{cases} 2x^2-x-6 = 0 \cr \cr y=x+3 \end{cases}

Sur la première ligne du système, on retrouve un trinôme du second degré. On calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times (2) \times (-6)=1+48=49=7^2

\Delta\gt0, donc le trinôme admet deux racines réelles :

• x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+7}{2\times (2)}=\dfrac{8}{4}=2
• x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-7}{2\times (2)}=\dfrac{-6}{4}=\dfrac{-3}{2}

 

Le système est donc équivalent à :
\begin{cases} x=2\cr \cr y=2+3 \end{cases}  ou  \begin{cases} x=\dfrac{-3}{2}\cr \cr y=\dfrac{-3}{2}+3 \end{cases}

Soit :
\begin{cases} x=2\cr \cr y=5 \end{cases}  ou  \begin{cases} x=\dfrac{-3}{2}\cr \cr y=\dfrac{3}{2} \end{cases}

Un point M(x;y) est à l'intersection de deux courbes si ses coordonnées vérifient chacune des deux équations.

Ici, on a :
P: y=x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}
D:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}

Afin de déterminer le(s) point(s) d'intersection de P et de D, on résout le système suivant :
\begin{cases} y=x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8} \cr \cr y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \end{cases}

Soit, en retirant la deuxième ligne à la première :
\begin{cases} x^2+\frac{3}{4}x-\frac{1}{8}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \cr \cr y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \end{cases}

Soit :
\begin{cases} x^2+\frac{1}{4}x-\frac{3}{8}=0 \cr \cr y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} \end{cases}

Sur la première ligne du système, on retrouve un trinôme du second degré. On calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(\frac{1}{4}\right)^2-4\times (1) \times (-\frac{3}{8})=\frac{1}{16}+\frac{12}{8}=\frac{25}{16}= \left(\frac{5}{4}\right)^2

\Delta\gt0, donc le trinôme admet deux racines réelles :

• x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\frac{1}{4}+\frac{5}{4}}{2\times (1)}=\dfrac{1}{2}
• x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}}{2\times (1)}=\dfrac{-3}{4}

 

Le système est donc équivalent à :
\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\cr \cr y=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4} \end{cases}  ou  \begin{cases} x=\dfrac{-3}{4}\cr \cr y=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{-3}{4}+\dfrac{1}{4} \end{cases}

Soit :
\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\cr \cr y=\dfrac{1}{2}\end{cases}  ou  \begin{cases} x=\dfrac{-3}{4}\cr \cr y=\dfrac{-1}{8} \end{cases}