Déterminer si un vecteur est normal à une droite Exercice

Soient a, b et c trois réels. Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} est un vecteur normal de la droite (\mathcal{D}).

Tout vecteur colinéaire à un vecteur normal d'une droite est également un vecteur normal de la droite.

Ici, on a :
x-2y-1=0

Donc un vecteur normal à la droite (\mathcal{D}) est le vecteur :
\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}

Et un vecteur tangent le vecteur  \overrightarrow{t} :
 \overrightarrow{t} \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}  

On vérifie la normalité des vecteurs proposés avec le vecteur tangent  \overrightarrow{t}  :

• \overrightarrow{t} \cdot \begin{pmatrix} 12 \cr -6 \end{pmatrix} = 2 \times 12 + (1) \times (-6) = 18
• \overrightarrow{t} \cdot \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \end{pmatrix} = 2 \times 1 + (1) \times (2) = 4
• \overrightarrow{t} \cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 20 \end{pmatrix} = 2 \times 2 + (1) \times (20) = 24
• \overrightarrow{t} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cr -4 \end{pmatrix} = 2 \times 2 + (1) \times (-4) = 0

 

\begin{pmatrix} 2 \cr -4 \end{pmatrix} est normal à un des vecteurs tangents de (\mathcal{D}).

Soient a, b et c trois réels. Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} est un vecteur normal de la droite (\mathcal{D}).

Tout vecteur colinéaire à un vecteur normal d'une droite est également un vecteur normal de la droite.

Ici, on a :
2x-y-2=0

Donc un vecteur normal à la droite (\mathcal{D}) est le vecteur :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}

Et un vecteur tangent le vecteur  \overrightarrow{t}  :
 \overrightarrow{t} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}  

On vérifie la normalité des vecteurs proposés avec le vecteur tangent  \overrightarrow{t}  :

• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 20 \end{pmatrix} = 1 \times 5 + (2) \times 20 = 45 
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 12 \cr -6 \end{pmatrix} = 1 \times 12 + (2) \times (-6) = 0
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 12 \cr 8 \end{pmatrix} = 1 \times 12 + (2) \times 8 = 28
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \end{pmatrix} = 1 \times 1 + (2) \times 2 = 5

 

\begin{pmatrix} 12 \cr -6 \end{pmatrix} est normal à un des vecteurs tangents de (\mathcal{D}).

Soient a, b et c trois réels. Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} est un vecteur normal de la droite (\mathcal{D}).

Tout vecteur colinéaire à un vecteur normal d'une droite est également un vecteur normal de la droite.

Ici, on a :
-2x-3y+3=0

Donc un vecteur normal à la droite (\mathcal{D}) est le vecteur :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}

Et un vecteur tangent le vecteur  \overrightarrow{t} :
 \overrightarrow{t} \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}  

On vérifie la normalité des vecteurs proposés avec le vecteur tangent  \overrightarrow{t}  :

• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 20 \end{pmatrix} = 3 \times (5) + (-2) \times (20) = -25 
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 2 \cr 4 \end{pmatrix} = 3 \times (2) + (-2) \times (4) = -2
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \end{pmatrix} = 3 \times (1) + (-2) \times (2) = -1 
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} -2 \cr -3 \end{pmatrix} = 3 \times (-2) + (-2) \times (-3) = 0

 

\begin{pmatrix} -2 \cr -3 \end{pmatrix} est normal à un des vecteurs tangents de (\mathcal{D}).

Soient a, b et c trois réels. Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} est un vecteur normal de la droite (\mathcal{D}).

Tout vecteur colinéaire à un vecteur normal d'une droite est également un vecteur normal de la droite.

Ici, on a :
4x-y+5=0

Donc un vecteur normal à la droite (\mathcal{D}) est le vecteur :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}

Et un vecteur tangent le vecteur  \overrightarrow{t}  :
 \overrightarrow{t} \begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}  

On vérifie la normalité des vecteurs proposés avec le vecteur tangent  \overrightarrow{t}  :

• \overrightarrow{t} \cdot \begin{pmatrix} 12 \cr -3 \end{pmatrix} = 1 \times (12) + 4 \times (-3) = 0
• \overrightarrow{t} \cdot \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \end{pmatrix} = 1 \times (1) + 4 \times (2) = 9
• \overrightarrow{t} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cr 4 \end{pmatrix} = 1 \times (2) + 4 \times (4) = 18
• \overrightarrow{t} \cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 20 \end{pmatrix} = 1 \times (5) + 4 \times (20) = 85

 

\begin{pmatrix} 12 \cr -3 \end{pmatrix} est colinéaire à un des vecteurs normaux de (\mathcal{D}).

Soient a, b et c trois réels. Soit la droite (\mathcal{D}) d'équation cartésienne ax+by+c=0.

Alors le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} est un vecteur normal de la droite (\mathcal{D}).

Tout vecteur colinéaire à un vecteur normal d'une droite est également un vecteur normal de la droite.

Ici, on a :
 6x-3y+3=0

Donc un vecteur normal à la droite (\mathcal{D}) est le vecteur :
\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}

Et un vecteur tangent le vecteur  \overrightarrow{t}  :
 \overrightarrow{t} \begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}  

On vérifie la normalité des vecteurs proposés avec le vecteur tangent  \overrightarrow{t}  :

• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 2 \cr 4 \end{pmatrix} = 3 \times 2 + (6) \times 4 = 30
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 12 \cr -6 \end{pmatrix} = 3 \times 12 + (6) \times (-6) = 0
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 1 \cr 2 \end{pmatrix} = 3 \times 1 + (6) \times 2 = 15
• \overrightarrow{t}\cdot \begin{pmatrix} 5 \cr 20 \end{pmatrix} = 3 \times 5 + (6) \times 20 = 135

 

\begin{pmatrix} 12 \cr -6 \end{pmatrix} est normal à un des vecteurs tangents de (\mathcal{D}).