Soit le cercle \mathcal{C} d'équation \mathcal{C} : x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0 .
On cherche à déterminer les points d'intersection entre \mathcal{C} et x = 3 .
Quel est le rayon du cercle \mathcal{C} ?
On met l'équation du cercle \mathcal{C} : x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0 sous sa forme canonique :
x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0 \Leftrightarrow (x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) - 3 = 0
On fait apparaître les identités remarquables :
x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 - 3 = 0
x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0 \Leftrightarrow (x-2)^2 + (y-3)^2 = 16 \Leftrightarrow (x-2)^2 + (y-3)^2= 4^2
On reconnaît l'équation du cercle de centre O(2 ; 3) et de rayon R = 4 .
Ainsi, R = 4 .
Quelle est la nature de la droite x = 3 ?
Pour la droite x = 3 , la valeur de x est constante, elle est donc verticale.
L'axe vertical est l'axe des ordonnées.
Ainsi, la droite x = 3 est une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Quelle équation doit-on résoudre pour trouver les points d'intersection du cercle \mathcal{C} et de la droite x = 3 ?
La droite x = 3 est parallèle à l'axe des ordonnées.
Pour trouver les points d'intersection avec le cercle \mathcal{C} , on remplace les x dans l'équation du cercle par 3 :
3^2 + y^2 - 4\times3 - 6y - 3 = 0 \Leftrightarrow 9 + y^2 - 12 - 6y - 3 = 0
3^2 + y^2 - 4\times3 - 6y - 3 = 0 \Leftrightarrow y^2 - 6y - 6 = 0
Ainsi, pour trouver les points d'intersection, il faut résoudre l'équation du second degré : y^2 - 6y - 6 = 0 .
Quels sont les points d'intersection du cercle \mathcal{C} et de la droite x = 3 ?
Il faut résoudre l'équation y^2 - 6y - 6 = 0 .
Pour trouver les racines d'un polynôme du second degré, il faut d'abord calculer le discriminant \Delta :
\Delta = b^2 - 4ac = (6)^2 - 4 \times 1 \times (-6)
\Delta = 36 + 24 = 60 = (2\sqrt{15})^2> 0
Le polynôme a donc deux racines réelles distinctes. Les racines sont :
y_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
y_1 = \dfrac{6 - 2\sqrt{15}}{2}
y_1 = 3 - \sqrt{15}
et
y_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
y_2 = \dfrac{6 + 2\sqrt{15}}{2}
y_2 = 3 + \sqrt{15}
Ainsi les solutions de l'équation sont :
S = \left\{ 3 - \sqrt{15}; 3 + \sqrt{15}\right\}
Les points d'intersection du cercle \mathcal{C} et de la droite x = 3 sont donc les points de coordonnées (3; 3 - \sqrt{15}) et (3; 3 + \sqrt{15}) .
