Les équations de droites
Les vecteurs permettent d'obtenir simplement l'équation d'une droite, en la caractérisant par un ensemble de points qui vérifient une propriété géométrique.
L'équation cartésienne d'une droite
Toute droite du plan peut se traduire sous forme d'une équation cartésienne.
Toute droite du plan admet une équation du type ax+by+c=0.
La droite d'équation y=x-1 admet bien une équation du type ax+by+c=0.
En effet,
y=x-1\Leftrightarrow -x+y+1=0\Leftrightarrow ax+by+c=0,
avec a=-1, b=1 et c=1.
Équation cartésienne
Soit \mathcal{D} une droite du plan.
Toute équation de \mathcal{D} du type ax+by+c=0 est appelée équation cartésienne de la droite \mathcal{D}.
Soit \mathcal{D} la droite d'équation y=-2x+3.
Une équation cartésienne de \mathcal{D} est 2x+y-3=0.
Soit a, b et c trois réels tels que (a;b)\neq (0;0).
L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que ax+by+c=0 est une droite.
L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que 2x+3y-5=0 est une droite du plan.
Soit (x;y) un couple de réels.
(x;y) vérifie 2x+3y-5=0
si, et seulement si, 3y=-2x+5
si, et seulement si, y=\dfrac{-2}{3}x+\dfrac{5}{3}.
L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que 2x+3y-5=0 est donc la droite d'équation réduite
y=\dfrac{-2}{3}x+\dfrac{5}{3}.
Cette propriété est la réciproque de la première propriété.
L'équation d'une droite à l'aide d'un vecteur directeur
Si l'on connaît un point et un vecteur directeur d'une droite, alors on peut en déterminer une équation.
Soit \mathcal{D} une droite du plan d'équation cartésienne ax+by+c=0.
Alors le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix} est un vecteur directeur de \mathcal{D}.
Soit \mathcal{D} la droite d'équation 2x+y-4=0 admet pour vecteur directeur le vecteur
\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}.
Soit A un point du plan et \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} un vecteur non nul.
La droite \mathcal{D} passant par A et de vecteur directeur \overrightarrow{u} admet une équation cartésienne du type \beta x-\alpha y +c=0.
On considère le point A(1;3) et le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.
La droite passant par A et admettant le vecteur \overrightarrow{u} comme vecteur directeur admet une équation du type :
1\times x-1\times y+c=0,
soit x-y+c=0.
Comme A\in \mathcal{D}, on a :
x_A-y_A+c=0,
soit 1-3+c=0.
On en déduit :
c=2
La droite \mathcal{D} admet pour équation :
x-y+2=0.
L'équation d'une droite à l'aide d'un vecteur normal
Si l'on connaît un point et un vecteur normal d'une droite, alors on peut également en déterminer une équation.
Vecteur normal
Soit \mathcal{D} une droite du plan et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de \mathcal{D}.
Un vecteur \overrightarrow{n} est dit normal à \mathcal{D} s'il est orthogonal à \overrightarrow{u}.
On considère la droite (d) d'équation cartésienne 2x+5y-1=0.
Le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix} est un vecteur directeur de la droite (d).
On considère le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4\\10\end{pmatrix}.
On a \overrightarrow{n}\cdot~\overrightarrow{u}=4\times (-5)+10\times 2=-20+20=0.
\overrightarrow{n} est orthogonal à \overrightarrow{u}.
\overrightarrow{n} est donc un vecteur normal à la droite (d).
Soit a, b et c trois nombres réels tels que (a;b)\neq (0;0).
La droite (d) d'équation cartésienne ax+by+c=0 admet le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} comme vecteur normal.
On considère la droite \Delta d'équation cartésienne 7x-4=0.
Alors le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix} est un vecteur normal à \Delta.
Soit a, b deux réels tels que (a;b)\neq (0;0) et \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}.
Alors toute droite (d) admettant \overrightarrow{n} comme vecteur normal admet une équation cartésienne du type ax+by+c=0.
Soit le point A(1;3) et le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}.
La droite (d) passant par A et admettant \overrightarrow{n} comme vecteur normal admet une équation cartésienne du type -2x+5y+c=0.
Comme A\in (d), on a -2x_A+5y_A+c=0, soit -2\times 1+5\times 3+c=0.
On en déduit : c=-13.
La droite (d) admet donc pour équation cartésienne :
-2x+5y-13=0
Cette propriété est la réciproque de la propriété précédente.
Projeté orthogonal
Soit (d) une droite du plan et A un point du plan n'appartenant pas à (d).
On appelle projeté orthogonal du point A sur (d) le point H appartenant à (d) tel que \overrightarrow{AH} soit un vecteur normal à (d).
La droite (d) ci-contre est la droite d'équation cartésienne x-2y+6=0.
Le point A a pour coordonnées (-3;4) et le point H a pour coordonnées (-2;2).
On vérifie que H est bien le projeté orthogonal du point A sur la droite (d) :
- x_H-2y_H+6=-2-2\times 2+6=-2-4+6=0.
Donc H\in (d). - Le vecteur \overrightarrow{AH} a pour coordonnées \begin{pmatrix}x_H-x_A\\y_H-y_A\end{pmatrix}.
On obtient \begin{pmatrix}-2-(-3)\\2-4\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{AH} est donc normal à la droite (d) puisque l'on retrouve les coefficients qui sont devant x et y dans l'équation donnée de (d).
- H\in (d) et \overrightarrow{AH} est normal à (d), donc H est bien le projeté orthogonal du point A sur la droite (d).
Les équations de cercles
Comme pour les droites, on peut utiliser les vecteurs pour écrire des équations de cercles. Pour cela, on définit un cercle comme l'ensemble des points équidistants de son centre.
Soit A(\alpha;\beta) un point du plan et R un nombre réel strictement positif.
Le cercle \mathcal{C} de centre A et de rayon R admet pour équation : (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2.
Autrement dit, le cercle de centre A(\alpha;\beta) et de rayon R est l'ensemble des points M de coordonnées (x;y) tels que (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2.
Soit A le point du plan de coordonnées (4;5).
Le cercle de centre A et de rayon 3 admet pour équation :
(x-4)^2+(y-5)^2=3^2,
soit (x-4)^2+(y-5)^2=9.
Soit R un nombre réel quelconque.
L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R est :
- le cercle de centre A(\alpha;\beta) et de rayon \sqrt{R} si R>0 ;
- le point A(\alpha;\beta) si R=0 ;
- l'ensemble vide si R<0.
L'ensemble des points M(x;y) du plan tels que (x-1)^2+(y-10)^2=3 est le cercle de centre A(1;10) et de rayon \sqrt{3}.
Les paraboles
La courbe représentative d'un trinôme du second degré est une parabole. Elle admet un extremum et un axe de symétrie vertical.
On n'étudie ici que des paraboles obtenues comme représentations graphiques de fonctions polynômes du second degré, c'est-à-dire des paraboles dont l'axe de symétrie est parallèle à l'axe des ordonnées.
Fonction polynôme du second degré
Une fonction f définie sur \mathbb{R}, dont l'expression peut s'écrire sous la forme f(x)=ax^2+bx+c, où a, b, c sont des réels tels que a\neq 0, est appelée fonction polynôme du second degré ou trinôme.
- La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=-3x^2+\dfrac{2}{3}x-1 est une fonction polynôme du second degré.
En effet, f(x) est bien de la forme ax^2+bx+c avec a=-3, b=\dfrac{2}{3} et c=-1.
- La fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=(x-2)^2-x^2-5 n'est pas une fonction polynôme du second degré.
En effet, pour tout réel x, g(x)=x^2-4x+4-x^2-5=-4x-1.
Parabole et sommet de la parabole
La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est appelée parabole. On appelle sommet de la parabole le point S marquant l'extremum de la fonction.
La courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2+3 est une parabole.
Son sommet est le point S de coordonnées (0;3).
Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=ax^2+bx+c (avec a\neq 0).
- Si a>0, la parabole représentant f est orientée « vers le haut » ; autrement dit, la fonction f est d'abord décroissante, puis croissante.
- Si a<0, la parabole représentant f est orientée « vers le bas » ; autrement dit, la fonction f est d'abord croissante, puis décroissante.
Voici les courbes représentatives de trois fonctions polynômes du second degré d'expressions :
f(x)=3x^2+12x+12
g(x)=2x^2-4x-2
h(x)=-x^2+6x-9
- Si a >0, l'ordonnée du sommet S est un minimum pour la fonction f.
- Si a<0, l'ordonnée du sommet est un maximum pour f.
Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=ax^2+bx+c (avec a\neq 0).
Le sommet S de la parabole représentative de f a pour coordonnées (\alpha;\beta).
On obtient \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta est la valeur de l'extremum, c'est-à-dire f(\alpha).
Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb{R} par f(x)=5x^2-4x+9.
On a donc, pour tout réel x, f(x)=ax^2+bx+c, avec a=5, b=-4 et c=9.
On pose \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha).
Alors \alpha=\dfrac{-(-4)}{2\times 5}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.
\beta=f\left( \dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{41}{5}
Le sommet de la parabole représentant f est le point S\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{41}{5}\right).
Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=ax^2+bx+c (avec a\neq 0).
On pose \alpha=\dfrac{-b}{2a}.
On a, pour tout réel x :
f(\alpha-x)=f(\alpha+x)
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-2x^2+5x.
On a :
\alpha=\dfrac{-5}{2\times (-2)}=\dfrac{5}{4}=1{,}25
Alors pour tout réel x, on a :
f(1{,}25-x)=f(1{,}25+x)
Soit f une fonction polynôme du second degré d'expression f(x)=ax^2+bx+c (avec a\neq 0).
On pose \alpha=\dfrac{-b}{2a}.
La parabole représentant f admet un axe de symétrie :
la droite d'équation x=\alpha, c'est-à-dire la droite d'équation x=\dfrac{-b}{2a}.
L'axe de symétrie de la parabole représentant une fonction polynôme du second degré est donc la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par le sommet de la parabole.
Soit f la fonction polynôme du second degré définie sur \mathbb{R} par
f(x)=-8x^2+x+3.
On a donc f(x)=ax^2+bx+c avec a=-8, b=1 et c=3.
L'abscisse du sommet de la parabole représentant f est :
\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2\times (-8)}=\dfrac{1}{16}
La parabole représentant f admet un axe de symétrie, la droite d'équation
x=\dfrac{1}{16}.
