On considère deux points A(3;1) et B(-2;0) dans un repère orthonormé du plan.
On cherche à déterminer l'ensemble \Gamma des points M du plan tels que \dfrac{MA}{MB}=2.
Parmi les équations suivantes, laquelle vérifie les distances MA et MB ?
Soit M un point du plan distinct de B.
Alors :
\dfrac{MA}{MB}=2\Leftrightarrow MA=2MB
\dfrac{MA}{MB}=2\Leftrightarrow MA^2=4MB^2
\dfrac{MA}{MB}=2\Leftrightarrow MA^2-4MB^2=0
L'équation vérifiée est donc :
MA^2-4MB^2=0
Parmi les équations suivantes, laquelle est vérifiée par les coordonnées (x;y) d'un point M de \Gamma ?
Dans un repère orthonormé, si le point A a pour coordonnées (x_A;y_A) et le point B pour coordonnées (x_B;y_B), alors :
AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2
Ici, on a :
- M, point quelconque du plan, de coordonnées (x;y) ;
- A de coordonnées (3;1) ;
- B de coordonnées (-2;0).
Ainsi :
MA^2=(x-3)^2+(y-1)^2 et MB^2=(x+2)^2+(y-0)^2.
D'où :
M\in\Gamma \Leftrightarrow MA^2-4MB^2=0
M\in\Gamma \Leftrightarrow (x-3)^2+(y-1)^2-4\left[(x+2)^2+(y-0)^2\right]=0
M\in\Gamma \Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2-2y+1-4\left(x^2+4x+4+y^2\right)=0
M\in\Gamma \Leftrightarrow x^2-6x+9+y^2-2y+1-4x^2-16x-16-4y^2=0
M\in\Gamma \Leftrightarrow -3x^2-22x-3y^2-2y-6=0
M\in\Gamma \Leftrightarrow 3x^2+22x+3y^2+2y+6=0
Quelle est la nature de l'ensemble \Gamma ?
Soient x et y deux réels quelconques.
3x^2+22x+3y^2+2y+6=0\Leftrightarrow x^2+\dfrac{22}{3}x+y^2+\dfrac{2}{3}y+2=0
3x^2+22x+3y^2+2y+6=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{11}{3}\right)^2-\left(\dfrac{11}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+2=0
3x^2+22x+3y^2+2y+6=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{11}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2=\left(\dfrac{11}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2-2
3x^2+22x+3y^2+2y+6=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{11}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{104}{9}