Soit f(x) la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f(x) = 3x^2-2x+4
Soit C la parabole associée.
On pose d la droite d'équation cartésienne : x=-4.
Quelles sont les variations de f ?
Pour étudier les variations d'une fonction du second degré, il faut d'abord trouver le signe de sa dérivée.
Ici, f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que polynôme du second degré et :
f'(x) = 6x-2
On étudie le signe de f' :
f'(x) >0 \Leftrightarrow 6x-2>0 \Leftrightarrow 6x>2 \Leftrightarrow x>\dfrac{1}{3}
f' est strictement positive sur \left]\dfrac{1}{3};+\infty \right[ et négative sinon.
Ainsi, la parabole C, courbe représentative de la fonction f, est décroissante sur \left]-\infty ; \dfrac{1}{3} \right[ et croissante sur \left]\dfrac{1}{3};+\infty \right[ .
Par déduction, quel est le nombre de points d'intersection entre la droite d et la parabole C ?
Ici, la droite d est une droite particulière car elle est parallèle à l'axe des ordonnées.
Cela signifie que les courbes d et C ont au maximum un point d'intersection car C est la courbe représentative d'une fonction. (En effet, par définition, les fonctions n'affectent qu'une unique image à chaque point de l'axe des abscisses.)
Pour savoir si les courbes d et C ont un point d'intersection, il faut se demander si -4 dispose d'une image par f, c'est-à-dire si f(-4) existe.
f étant un polynôme du second degré, f est définie sur \mathbb{R} . Donc f(-4) existe.
Ainsi, la droite d et la parabole C disposent d'un unique point d'intersection.
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de d et C ?
Le point M\: (x;y) est un point d'intersection de C et d \Leftrightarrow M\in \: d \: \text{et} \: M\in \: C .
Donc les coordonnées de M satisfont :
\left \{ \begin{array}{rcl} y=3x^2-2x+4 \\ x=-4 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} y = 3\times (-4)^2-2\times (-4) +4 \\ x=-4 \end{array} \right. en remplaçant x par sa valeur à la ligne 1
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} y = 3\times 16+8+4 \\ x=-4 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} y = 60 \\ x=-4 \end{array} \right.
Le point d'intersection entre d et C a donc pour coordonnées (-4;60).
Remarque : dans ce cas particulier, il était simplement possible de calculer f(-4).