Soit un point A(3{,}6) dans le repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Quel est l'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses ?
Soient M(x,y) un point quelconque du repère et H(x,0) son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses.
M est équidistant de l'axe des abscisses et du point A si et seulement si \left\| \overrightarrow{AM} \right\| = \left\| \overrightarrow{HM} \right\|.
Ici, on a \overrightarrow{AM}(x-3, y-6) et \overrightarrow{HM}(0,y).
On peut donc réécrire l'égalité de la manière suivante :
\sqrt{(x-3)^2+(y-6)^2} = \sqrt{y^2}\\\Leftrightarrow (x-3)^2 + (y-6)^2 = y^2\\\Leftrightarrow x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = y^2\\\Leftrightarrow 12y = x^2 - 6x + 45\\\Leftrightarrow y = \dfrac{1}{12}x^2 - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{15}{4}
L'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses est donc la courbe d'équation y = \dfrac{1}{12}x^2 - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{15}{4}.
Soit un point A(-1{,}4) dans le repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Quel est l'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses ?
Soient M(x,y) un point quelconque du repère et H(x,0) son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses.
M est équidistant de l'axe des abscisses et du point A si et seulement si \left\| \overrightarrow{AM} \right\| = \left\| \overrightarrow{HM} \right\|.
Ici, on a \overrightarrow{AM}(x+1, y-4) et \overrightarrow{HM}(0,y).
On peut donc réécrire l'égalité de la manière suivante :
\sqrt{(x+1)^2+(y-4)^2} = \sqrt{y^2}\\\Leftrightarrow (x+1)^2 + (y-4)^2 = y^2\\\Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = y^2\\\Leftrightarrow 8y = x^2 +2x + 17\\\Leftrightarrow y = \dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{4}x + \dfrac{17}{8}
L'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses est donc la courbe d'équation y = \dfrac{1}{8}x^2 + \dfrac{1}{4}x + \dfrac{17}{8}.
Soit un point A(-2,-3) dans le repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Quel est l'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses ?
Soient M(x,y) un point quelconque du repère et H(x,0) son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses.
M est équidistant de l'axe des abscisses et du point A si et seulement si \left\| \overrightarrow{AM} \right\| = \left\| \overrightarrow{HM} \right\|.
Ici, on a \overrightarrow{AM}(x+2, y+3) et \overrightarrow{HM}(0,y).
On peut donc réécrire l'égalité de la manière suivante :
\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2} = \sqrt{y^2}\\\Leftrightarrow (x+2)^2 + (y+3)^2 = y^2\\\Leftrightarrow x^2 + 4x + 4 + y^2 +6y + 9 = y^2\\\Leftrightarrow 6y = -x^2 -4x -13\\\Leftrightarrow y = -\dfrac{1}{6}x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{13}{6}
L'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses est donc la courbe d'équation y = -\dfrac{1}{6}x^2 - \dfrac{2}{3}x - \dfrac{13}{6}.
Soit un point A(0,-5) dans le repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Quel est l'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses ?
Soient M(x,y) un point quelconque du repère et H(x,0) son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses.
M est équidistant de l'axe des abscisses et du point A si et seulement si \left\| \overrightarrow{AM} \right\| = \left\| \overrightarrow{HM} \right\|.
Ici, on a \overrightarrow{AM}(x, y+5) et \overrightarrow{HM}(0,y).
On peut donc réécrire l'égalité de la manière suivante :
\sqrt{x^2+(y+5)^2} = \sqrt{y^2}\\\Leftrightarrow x^2 + (y+5)^2 = y^2\\\Leftrightarrow x^2 + y^2 +10y + 25 = y^2\\\Leftrightarrow 10y = -x^2 -25\\\Leftrightarrow y = -\dfrac{1}{10}x^2 - \dfrac{5}{2}
L'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses est donc la courbe d'équation y = -\dfrac{1}{10}x^2 - \dfrac{5}{2}.
Soit un point A(7{,}0) dans le repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Quel est l'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses ?
Soient M(x,y) un point quelconque du repère et H(x,0) son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses.
M est équidistant de l'axe des abscisses et du point A si et seulement si \left\| \overrightarrow{AM} \right\| = \left\| \overrightarrow{HM} \right\|.
Ici, on a \overrightarrow{AM}(x-7, y) et \overrightarrow{HM}(0,y).
On peut donc réécrire l'égalité de la manière suivante :
\sqrt{(x-7)^2+y^2} = \sqrt{y^2}\\\Leftrightarrow (x-7)^2 + y^2 = y^2\\\Leftrightarrow (x-7)^2 = 0\\\Leftrightarrow x=7
L'ensemble des points équidistants de A et de l'axe des abscisses est donc la droite d'équation x=7.