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Dernière modification : 22/10/2026 - Conforme au programme 2026-2027
Les vecteurs et les droites
Le vecteur directeur d'une droite
Vecteur directeur
Soit \Delta une droite du plan. On appelle vecteur directeur tout vecteur \overrightarrow{u} tel qu'il existe deux points A et B qui appartiennent à \Delta tel que :
\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}
Pour une droite du plan, il existe une infinité de vecteurs directeurs, et tous ces vecteurs sont colinéaires.
On ne dit donc jamais « le vecteur directeur » mais « un vecteur directeur » d'une droite.
Un vecteur est directeur dès qu'il indique la « direction » de la droite.
Pour un vecteur donné, il existe une infinité de droites qui l'admettent comme vecteur directeur, elles sont toutes parallèles entre elles.
Soient deux points A et B du plan. Alors la droite (AB) admet toujours en particulier un vecteur directeur donné par \overrightarrow{AB}.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), soient A( 2, 3) et B(4, 5) deux points du plan. Alors la droite (AB) admet un vecteur directeur donné par le vecteur :
\overrightarrow{AB} = ( 4 -2; 5 - 3) = (2;2)
Mais le vecteur 2 \overrightarrow{AB}=(4;4) est aussi un autre vecteur directeur de (AB).
La pente d'une droite
La pente
On considère le plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soit \Delta une droite du plan. Soit \overrightarrow{u} un vecteur directeur de \Delta. Si les coordonnées de \overrightarrow{u}(x;y) sont telles que x \not = 0, alors, on appelle pente de la droite \Delta la valeur m = \dfrac{y}{x}.
Soit \overrightarrow{u}(7; 1) un vecteur directeur d'une droite. Alors, la pente de cette droite est \dfrac{1}{7}.
Le calcul de la pente d'une droite ne dépend pas du vecteur directeur choisi. Si on choisit un autre vecteur directeur \overrightarrow{v} de \Delta, alors, on sait que \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires. Si on note (x;y) les coordonnées de \overrightarrow{u}, et (x', y') celles de \overrightarrow{v} dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), il existe un réel \lambda tel que :
\left\{\begin{array}{cc} x &= \lambda x' \\ y &= \lambda y' \end{array}\right.
Finalement, le calcul de la pente revient au même, on a :
\dfrac{y}{x} = \dfrac{\lambda y'}{\lambda x'} = \dfrac{y'}{x'}
La droite suivante (d) de pente -2, a un vecteur directeur qui est donné par \overrightarrow{v} (2; -4).
Dans le plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), soient A(x, y) et B(x, y) deux points. Alors, la pente de (AB) est donnée par le nombre m \in \mathbb{R} :
m = \dfrac{y_B -y_A}{x_B - x_A}
Le déterminant pour caractériser deux droites parallèles
Soient deux droites \Delta et \Delta', qui admettent pour vecteurs directeurs respectifs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}. Alors on a :
\Delta et \Delta' sont parallèles ou confondues si et seulement si \textrm{det} \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) = 0
Soient \Delta et \Delta' deux droites du plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient \overrightarrow{u}(\sqrt{2},7) et \overrightarrow{v}(2, 7\sqrt{2}) des vecteurs directeurs de \Delta et \Delta' respectivement. On a :
\begin{aligned}\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) &= \sqrt{2} \times 7 \sqrt{2} - 7 \times 2\\ &= 2 \times 7 - 7 \times 2\\ &= 0 \end{aligned}
Donc \Delta et \Delta' sont parallèles ou bien confondues.
Pour savoir si les deux droites sont confondues, il faut déterminer s'il existe un point présent sur les deux droites. S'il existe un point qui est sur \Delta mais pas sur \Delta', alors elles sont parallèles non confondues.
Une condition d'alignement de trois points
Soient A, B et C trois points du plan. Soit \overrightarrow{u} un vecteur directeur de la droite (AB). Alors, A, B et C sont alignés si et seulement si \overrightarrow{u} est colinéaire avec AC.
On souhaite savoir si les points A(2;4), B(5; -3), et C(7;-7) du plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) sont alignés ou non. On calcule alors les vecteurs directeurs des droites (AB) et (BC). On sait que :
- \overrightarrow{AB}( 5 - 2 ; -3 - 4) = \overrightarrow{AB}(3;-7)
- \overrightarrow{BC}(7 - 5; -7 -(- 3)) = \overrightarrow{BC}(2, -4)
Pour savoir si les deux vecteurs sont colinéaires, il faut calculer leur déterminant :
\textrm{det}(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = 3 \times (-4) - (-7) \times 2 = 2 \not = 0
Les points A, B et C ne sont pas alignés.
Les équations de droite
L'équation cartésienne
Équation cartésienne
On appelle équation cartésienne une équation sous la forme suivante :
a x + b y = c
Avec a, b et c des nombres réels. On donne parfois l'équation sous la forme :
a x + b y - c = 0
On demande que a et b ne soient pas nuls en même temps.
Le déterminant permet de démontrer pourquoi les équations cartésiennes caractérisent les droites.
On considère le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Alors, l'ensemble des points de coordonnés (x, y) dans ce repère qui satisfont une équation cartésienne a x + b y = c forment une droite dans le plan. Réciproquement, toute droite du plan admet une équation cartésienne.
Soit M(x,y) un point du plan, où le plan est muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient \Delta une droite du plan, A un point de cette droite, et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de cette droite. Alors, M appartient à la droite \Delta si et seulement si \overrightarrow{AM} est colinéaire à \overrightarrow{u}.
On note \overrightarrow{u}(b, a) les coordonnées de \overrightarrow{u} dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right), et A(\alpha, \beta) les coordonnées de A dans ce repère. Le vecteur \overrightarrow{u} n'est pas le vecteur nul, donc a et b ne sont pas nuls en même temps. Le vecteur \overrightarrow{AM} a pour coordonnées \overrightarrow{AM}(x - \alpha, y - \beta).
On sait alors que le déterminant des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{AM} est nul :
\textrm{det}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM}) = 0
Or :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{AM}) = b ( y - \beta) - a (x - \alpha)
Donc, M(x, y) appartient à la droite \Delta si et seulement si :
b (y - \beta) - a (x - \alpha) = 0
Si on développe l'équation, on obtient :
b y - b \beta - a x + a \alpha = 0
Donc, on obtient finalement :
-a x + b y = b \beta - a \alpha
C'est une équation cartésienne.
À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on peut vérifier que l'équation cartésienne trouvée correspond bien à la droite \Delta. Le vecteur \overrightarrow{u} indique la direction de la droite \Delta, et A appartient bien à \Delta.
Dans les équations cartésiennes :
a x + b y - c = 0
Les constantes a, b ou c peuvent être nulles.
-3x = 1 est une équation cartésienne. Cette droite est représentée dans la figure suivante :
L'équation réduite
Équation réduite
Une équation réduite est une équation de la forme :
y = mx + b
où m et b sont des nombres réels. Elle peut aussi prendre la forme :
x = k
où k est un nombre réel.
Une équation réduite est une forme particulière d'une équation cartésienne, puisque :
y = mx + b \iff y - mx - b = 0
ou bien :
x = k \iff x - k = 0
On retrouve l'expression des droites affines à l'aide des fonctions affines. En effet, la fonction f : x \mapsto mx + b admet un graphe qui est exactement la droite \Delta dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) qui admet pour équation réduite y = mx +b.
Une équation réduite ne représente qu'une seule droite. Autrement dit, si deux équations réduites représentent la même droite, alors ce sont exactement les mêmes équations.
Soit \Delta une droite qui admet pour équation cartésienne -3x -2y + 25 = 0. Pour trouver son équation réduite, on peut diviser par le coefficient devant y. On obtient :
\dfrac{-3}{-2}x + y + \dfrac{25}{-2} = 0 \iff \dfrac{3}{2}x + y - \dfrac{25}{2} = 0
On peut ensuite réarranger selon la forme d'une équation réduite :
y = - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{25}{2}
Pour chaque droite il y a une unique équation réduite, contrairement aux équations cartésiennes. On dit donc « l'équation réduite de la droite ».
Les liens entre équations cartésiennes, vecteurs directeurs, équations réduites et pente d'une droite
Un vecteur directeur et les coefficients des équations cartésiennes
Soit ax + by + c = 0 une équation cartésienne d'une droite \Delta du plan. Alors, un vecteur directeur de \Delta est donné par \overrightarrow{u}(-b; a).
On peut donner une preuve de ce résultat à l'aide du déterminant.
On considère le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Soient deux points M(x;y) et M'(x';y'), distincts, qui sont sur la droite \Delta. Alors, on sait que :
\begin{cases} ax + by + c &= 0 \\ ax'+ by'+ c &= 0 \end{cases}
Le vecteur \overrightarrow{MM'} est un vecteur directeur de la droite \Delta, puisqu'il est non nul, car M et M' sont deux points différents de la droite \Delta. Ce vecteur a pour coordonnées MM'(x'-x; y'-y). Mais, en calculant la différence des deux équations précédentes (on observe que la constante c disparaît), on obtient alors :
a(x' -x) + b(y'-y) = 0
Or, on connaît les coordonnées de \overrightarrow{u} et celles de \overrightarrow{MM'}, donc on peut calculer le déterminant :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{MM'}) = -b(y'-'y) -a(x'-x)
En utilisant l'équation trouvée plus haut, on a alors :
\textrm{det}(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{MM'}) = -\left( b(y'-y) + a(x'-x) \right) = 0
Donc, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{MM'} sont colinéaires. Ainsi, \overrightarrow{u} est bien un vecteur directeur de \Delta.
Soit \Delta qui admet 4x - 5y + 2 = 0 comme équation cartésienne. Alors un vecteur directeur de \Delta est donné par \overrightarrow{u}(5;4).
Soit \Delta une droite qui admet \overrightarrow{u}(7; 6) comme vecteur directeur, et qui passe par le point A(3;2) dans le plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). On cherche une équation cartésienne de \Delta. On sait que cette équation peut avoir la forme suivante :
6x - 7y + c = 0
Puisque \overrightarrow{u}(7;6) est un vecteur directeur de \Delta. Il ne reste plus qu'à déterminer la constante c \in \mathbb{R}. Pour cela, on utilise le fait que \Delta passe par A, autrement dit les coordonnées de A satisfont l'équation cartésienne de \Delta. Donc :
6\times 3 - 7 \times 2 + c = 0
Autrement dit :
18 - 14 + c = 0 \iff c = -4
Donc une équation cartésienne de \Delta est donnée par :
6x - 7y - 4 = 0
D'une équation cartésienne à l'équation réduite d'une droite
On considère une droite \Delta du plan qui admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c =0. On rappelle que a et b ne sont pas nuls en même temps.
- Si b=0, la droite \Delta est parallèle à l'axe des ordonnées, et \Delta admet pour équation réduite x = \dfrac{c}{a}, et a est non nul.
- Si b \not = 0 la droite \Delta a pour équation réduite y = -\dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}, donc admet une pente de m = -\dfrac{a}{b}.
La pente et le coefficient directeur de l'équation réduite
Soit \Delta une droite du plan qui admet l'équation réduite y = mx + b. Alors, m est la pente, ou le coefficient directeur de la droite \Delta.
On considère le plan muni du repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Si \Delta est une droite de pente \dfrac{-1}{3}, qui passe par A(3, 8), on peut trouver une équation réduite de \Delta grâce à la propriété. En effet, on sait que l'équation réduite sera de la forme :
y = \dfrac{-1}{3} x + c
Avec la constante c qui reste à déterminer.
Puisque la droite \Delta passe par A(3, 8), alors :
8 = \dfrac{-1}{3}\times 3 + c
Finalement, on résout :
8 = -1 + c \iff c = 9
Donc \Delta admet comme équation réduite :
y = \dfrac{-1}{3} x + 9
L'intersection de deux droites
Soient deux droites sécantes (d) et (d'), d'équations réduites respectives :
- d : y=ax+b
- d' : y=a'x+b'
Ainsi, l'abscisse du point d'intersection des deux droites vérifie l'équation :
ax+b=a'x+b'
On considère les droites (d) et (d') d'équations réduites :
- d : y=2x+1
- d' : y=-x+7
Leur point d'intersection I a une abscisse x qui vérifie :
2x+1=-x+7
On obtient :
3x=6
x=2
Pour déterminer l'ordonnée de I, on remplace cette valeur dans l'équation de (d) :
y=2\times2+1=5
Le point d'intersection des deux droites est donc I(2,;5).