Soient les droites (d) et (d').
(d) passe par les points A(3{,}2) et B(5, 8).
(d') passe par les points C(-1{,}0) et D(8, 5).
(d) et (d') sont-elles parallèles, confondues ou sécantes ?
(d) passe par les points A(3{,}2) et B(5, 8).
Donc le vecteur \overrightarrow{AB}(2, 6) est un vecteur directeur de (d).
(d') passe par les points C(-1{,}0) et D(8, 5).
Donc le vecteur \overrightarrow{CD}(9, 5) est un vecteur directeur de (d').
On peut calculer le déterminant de \overrightarrow{AB}(2, 6) et \overrightarrow{CD}(9, 5).
det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 2\times 5 - 9\times 6 = -44 \neq 0
(d) et (d') ne sont donc pas parallèles.
Ainsi, (d) et (d') sont sécantes.
Soient les droites (d) et (d').
(d) passe par les points A(2{,}4) et B(6, 1).
(d') passe par les points C(-1,-3) et D(3, 3).
(d) et (d') sont-elles parallèles, confondues ou sécantes ?
(d) passe par les points A(2{,}4) et B(6, 1).
Donc le vecteur \overrightarrow{AB}(4, -3) est un vecteur directeur de (d).
(d') passe par les points C(-1,-3) et D(3, 3).
Donc le vecteur \overrightarrow{CD}(4, 6) est un vecteur directeur de (d').
On peut calculer le déterminant de \overrightarrow{AB}(4, -3) et \overrightarrow{CD}(4, 6).
det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 4\times 6 - 4\times (-3) = 36 \neq 0
(d) et (d') ne sont donc pas parallèles.
Ainsi, (d) et (d') sont sécantes.
Soient les droites (d) et (d').
(d) passe par les points A(-7{,}2) et B(4, 12).
(d') passe par les points C(-8{,}7) et D(14, 2).
(d) et (d') sont-elles parallèles, confondues ou sécantes ?
(d) passe par les points A(-7{,}2) et B(4, 12).
Donc le vecteur \overrightarrow{AB}(11, 10) est un vecteur directeur de (d).
(d') passe par les points C(-8{,}7) et D(14, 2).
Donc le vecteur \overrightarrow{CD}(22, -5) est un vecteur directeur de (d').
On peut calculer le déterminant de \overrightarrow{AB}(11, 10) et \overrightarrow{CD}(22, -5).
det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 11\times (-5) - 22\times 10 = -275 \neq 0
(d) et (d') ne sont donc pas parallèles.
Ainsi, (d) et (d') sont sécantes.
Soient les droites (d) et (d').
(d) passe par les points A(\sqrt{2},\sqrt{3}) et B(\sqrt{3}, \sqrt{2}).
(d') passe par les points C(2{,}3) et D(3, 2).
(d) et (d') sont-elles parallèles, confondues ou sécantes ?
(d) passe par les points A(\sqrt{2},\sqrt{3}) et B(\sqrt{3},\sqrt{2}).
Donc le vecteur \overrightarrow{AB}(\sqrt{3}-\sqrt{2}, \sqrt{2}-\sqrt{3}) est un vecteur directeur de (d).
(d') passe par les points C(2{,}3) et D(3, 2).
Donc le vecteur \overrightarrow{CD}(1, -1) est un vecteur directeur de (d').
On peut calculer le déterminant de \overrightarrow{AB}(\sqrt{3}-\sqrt{2}, \sqrt{2}-\sqrt{3}) et \overrightarrow{CD}(1, -1).
det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 1\times (\sqrt{2}-\sqrt{3}) - (-1)\times (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 0
(d) et (d') ne sont pas sécantes.
\overrightarrow{AB}(\sqrt{3}-\sqrt{2}, \sqrt{2}-\sqrt{3}) étant un vecteur directeur de (d), (d) a pour coefficient directeur m=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=-1.
L'équation réduite de (d) est donc de la forme y = -x + c.
De plus, (d) passe par les points A(\sqrt{2},\sqrt{3}).
On peut donc déterminer c :
\sqrt{3} = -\sqrt{2} + c\\\Leftrightarrow c = \sqrt{3}+\sqrt{2}
L'équation réduite de (d) est donc y = -x + \sqrt{3}+\sqrt{2}.
Si (d) passe par le point C, alors (d) et (d') sont confondues.
On détermine si B vérifie l'équation réduite de (d) :
3 = -2 + \sqrt{3}+\sqrt{2}
Cette égalité est fausse.
Ainsi, (d) et (d') sont parallèles.
Soient les droites (d) et (d').
(d) passe par les points A(\sqrt{2},\sqrt{3}) et B(\sqrt{3}, \sqrt{2}).
(d') passe par les points C(\sqrt{5}+\sqrt{2},\sqrt{3}-\sqrt{5}) et D(\sqrt{3}+\sqrt{6}, \sqrt{2}-\sqrt{6}).
(d) et (d') sont-elles parallèles, confondues ou sécantes ?
(d) passe par les points A(\sqrt{2},\sqrt{3}) et B(\sqrt{3},\sqrt{2}).
Donc le vecteur \overrightarrow{AB}(\sqrt{3}-\sqrt{2}, \sqrt{2}-\sqrt{3}) est un vecteur directeur de (d).
(d') passe par les points C(\sqrt{5}+\sqrt{2},\sqrt{3}-\sqrt{5}) et D(\sqrt{3}+\sqrt{6}, \sqrt{2}-\sqrt{6}).
Donc le vecteur \overrightarrow{CD}(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{6}, \sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6}) est un vecteur directeur de (d').
On peut calculer le déterminant de \overrightarrow{AB}(\sqrt{3}-\sqrt{2}, \sqrt{2}-\sqrt{3}) et \overrightarrow{CD}(-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{6}, \sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{6}).
det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = (-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{6})\times (\sqrt{2}-\sqrt{3}) - (-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{6})\times (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 0
(d) et (d') ne sont pas sécantes.
\overrightarrow{AB}(\sqrt{3}-\sqrt{2}, \sqrt{2}-\sqrt{3}) étant un vecteur directeur de (d), (d) a pour coefficient directeur m=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=-1.
L'équation réduite de (d) est donc de la forme y = -x + c.
De plus, (d) passe par les points A(\sqrt{2},\sqrt{3}).
On peut donc déterminer c :
\sqrt{3} = -\sqrt{2} + c\\\Leftrightarrow c = \sqrt{3}+\sqrt{2}
L'équation réduite de (d) est donc y = -x + \sqrt{3}+\sqrt{2}.
Si (d) passe par le point C, alors (d) et (d') sont confondues.
On détermine si B vérifie l'équation réduite de (d) :
\sqrt{5}+\sqrt{2} = -(\sqrt{3}-\sqrt{5}) + \sqrt{3}+\sqrt{2}\\\\\Leftrightarrow \sqrt{5}+\sqrt{2} = -\sqrt{3}+\sqrt{5} + \sqrt{3}+\sqrt{2}\\\\\\\Leftrightarrow \sqrt{5}+\sqrt{2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}
Ainsi, (d) et (d') sont confondues.