Soit \mathcal{D} la droite qui passe par les points A (1;2) et B (3; 4) .
On veut écrire un programme Python qui retourne une équation cartésienne de la droite \mathcal{D}.
Quel vecteur est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D} ?
Le vecteur \overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.
Or, le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}3-1\\4-2\end{pmatrix}, c'est-à-dire \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} est donc un vecteur directeur de la droite \mathcal{D}.
Quelle équation est une équation cartésienne de la droite \mathcal{D} ?
Soit M(x ;y) un point du plan.
Le point M appartient à la droite \mathcal{D} si, et seulement si, les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires.
Or, le vecteur \overrightarrow{AM} a pour coordonnées \begin{pmatrix}x_M-x_A\\y_M-y_A\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}x-1\\y-2\end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{u} a pour coordonnées \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{u} sont colinéaires si et seulement si le déterminant des deux vecteurs est nul, soit 2(x-1)-2(y-2)=0.
On obtient :
2x-2-2y+4=0
soit 2x-2y+2=0
En simplifiant par 2, on obtient donc comme équation cartésienne de la droite \mathcal{D} :
x-y+1=0
Quel programme Python permet d'obtenir les coefficients d'une équation cartésienne d'une droite \mathcal{D} passant par deux points A(x1 ;y1) et B(x2 ;y2) ?
Soit M(x ;y) un point du plan.
Le point M appartient à la droite \mathcal{D} si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.
Or, le vecteur \overrightarrow{AM} a pour coordonnées \begin{pmatrix}x_M-x_A\\y_M-y_A\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}x-x1\\y-y1\end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{AB} a pour coordonnées \begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}, soit \begin{pmatrix}x2-x1\\y2-y1\end{pmatrix}, c'est-à-dire \begin{pmatrix}\verb~alpha~\\\verb~beta~\end{pmatrix} avec \verb~alpha~=x2-x1 et \verb~beta~=y2-y1.
Ainsi, les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires si et seulement si le déterminant des deux vecteurs est nul, soit \verb~beta(x-x1)- alpha(y-y1)=0~.
On obtient :
\verb~beta * x-alpha*y-beta*x1+alpha*y1=0~
Le programme qui convient est donc :
\verb~def equaCart(x1, y1, x2, y2) : ~
\verb~ alpha = x2 – x1~
\verb~ beta = y2 – y1~
\verb~ a = beta~
\verb~ b = -alpha~
\verb~ c = -beta*x1+alpha*y1~
\verb~ return (a, b, c) ~