Dans les cas suivants, calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 4, AC = 5 et BC = 7 :
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 10, AC = 12 et BC = 11 :
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 5, AC = 9 et BC = 6 :
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 7, AC = 4 et BC = 9 :
On considère le triangle ABC suivant tel que AB = 7, AC = 5 et BC = 4 :
On connaît uniquement les longueurs des côtés, on utilise donc l'expression du produit scalaire en fonction des normes :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AC}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AB}\right\|^2+ \left\| \overrightarrow{AC}\right\|^2 - \left\| \overrightarrow{CB}\right\|^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( AB^2+AC^2 - CB^2 \right)
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 7^2+5^2 - 4^2 \right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2} \left( 49+25-16\right)
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 29