Dans les cas suivants, déterminer si le polynôme du second degré est donné sous sa forme développée, sous sa forme canonique ou sous sa forme factorisée.
Soit f un polynôme du second degré tel que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = -4(x-3)^2+6
Toute fonction polynôme f du second degré peut s'écrire :
- sous forme développée f(x)=ax^2+bx+c ;
- sous forme canonique f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta (où v et \beta=f(\alpha)).
Par ailleurs, si x_1 et x_2 sont les racines de f, alors le polynôme peut également s'écrire sous forme factorisée f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = -4(x-3)^2+6
On reconnaît f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta avec :
- a= -4
- \alpha = 3
- \beta = 6
f est donc un polynôme du second degré donné sous forme canonique.
Soit f un polynôme du second degré tel que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = -7x+3-4x^2
Toute fonction polynôme f du second degré peut s'écrire :
- sous forme développée f(x)=ax^2+bx+c ;
- sous forme canonique f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta (où \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha)).
Par ailleurs, si x_1 et x_2 sont les racines de f, alors le polynôme peut également s'écrire sous forme factorisée f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = -7x+3-4x^2
f est donc un polynôme du second degré sous forme développée.
Soit f un polynôme du second degré tel que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =(14+x)(x-3)
Toute fonction polynôme f du second degré peut s'écrire :
- sous forme développée f(x)=ax^2+bx+c ;
- sous forme canonique f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta (où \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha)).
Par ailleurs, si x_1 et x_2 sont les racines de f, alors le polynôme peut également s'écrire sous forme factorisée f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =(14+x)(x-3)
f est donc un polynôme du second degré sous forme factorisée.
Soit f un polynôme du second degré tel que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =(1+x)^2
Toute fonction polynôme f du second degré peut s'écrire :
- sous forme développée f(x)=ax^2+bx+c ;
- sous forme canonique f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta (où \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha)).
Par ailleurs, si x_1 et x_2 sont les racines de f, alors le polynôme peut également s'écrire sous forme factorisée f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =(1+x)^2
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =(1+x)(1+x)
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =(x-(-1))(x-(-1))
f est donc un polynôme du second degré sous forme factorisée.
Soit f un polynôme du second degré tel que :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =\dfrac{3x^2+2x+3}{3}
Quelle est la forme de ce polynôme ?
Toute fonction polynôme f du second degré peut s'écrire :
- sous forme développée f(x)=ax^2+bx+c ;
- sous forme canonique f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta (où \alpha=\dfrac{-b}{2a} et \beta=f(\alpha)).
Par ailleurs, si x_1 et x_2 sont les racines de f, alors le polynôme peut également s'écrire sous forme factorisée f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).
Ici, on a :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =\dfrac{3x^2+2x+3}{3}
\forall x \in \mathbb{R}, f(x) =x^2+\dfrac{2}{3}x+1
f est donc un polynôme du second degré sous forme développée.