Résoudre les inéquations suivantes.
\dfrac{2x^2+4x+4}{x^2-9}\lt 2
Simplification de l'inéquation
\dfrac{2x^2+4x+4}{x^2-9}\lt 2
\Leftrightarrow \dfrac{2x^2+4x+4}{x^2-9}-2\lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{2x^2+4x+4-2(x^2-9)}{x^2-9}\lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{2x^2+4x+4-2x^2+18}{x^2-9}\lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{4x+22}{x^2-9}\lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{4x+22}{(x-3)(x+3)}\lt 0
Étude du signe de l'expression
Pour étudier le signe d'un quotient, on étudie séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis on dresse un tableau de signes.
- 4x+22\gt0 \Leftrightarrow 4x\gt -22\Leftrightarrow x\gt -\dfrac{11}{2}
- x+3\gt0 \Leftrightarrow x\gt-3
- x-3\gt0 \Leftrightarrow x\gt3
On dresse le tableau de signes :
Résolution de l'inéquation
On choisit les intervalles pour lesquels l'expression est strictement négative.
Ainsi, S= \left]-\infty,-\dfrac{11}{2}\right[ \cup \left]-3{,}3\right[
\dfrac{5x^2-3x+10}{x^2-25} \geqslant 5
Simplification de l'inéquation
\dfrac{5x^2-3x+10}{x^2-25} \geqslant 5
\Leftrightarrow \dfrac{5x^2-3x+10}{x^2-25} -5 \geqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{5x^2-3x+10-5(x^2-25)}{x^2-25} \geqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{5x^2-3x+10-5x^2+125}{x^2-9} \geqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{-3x+135}{x^2-25} \geqslant0
\Leftrightarrow \dfrac{-3x+135}{(x-5)(x+5)}\geqslant 0
Étude du signe de l'expression
Pour étudier le signe d'un quotient, on étudie séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis on dresse un tableau de signes.
- -3x+135\ \geqslant 0 \Leftrightarrow -3x\geqslant -135 \Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{135}{3} \Leftrightarrow x\leqslant 45
- x+5 \geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant-5
- x-5 \geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant+5
On dresse le tableau de signes :
Résolution de l'inéquation
On choisit les intervalles pour lesquels l'expression est positive.
Ainsi, S= \left]-\infty,-5\right[\cup \left]5{,}45\right]
\dfrac{12x^2+2x-72}{4x^2-36} \geqslant 3
Simplification de l'inéquation
\dfrac{12x^2+2x-72}{4x^2-36} \geqslant 3
\Leftrightarrow \dfrac{12x^2+2x-72}{4x^2-36} -3 \geqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{12x^2+2x-72-3(4x^2-36)}{4x^2-36} \geqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{12x^2+2x-72-12x^2+108}{4x^2-36} \geqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{2x+36}{4x^2-36} \geqslant0
\Leftrightarrow \dfrac{2x+36}{4(x-3)(x+3)}\geqslant 0
\Leftrightarrow \dfrac{x+18}{2(x-3)(x+3)}\geqslant 0
Étude du signe de l'expression
Pour étudier le signe d'un quotient, on étudie séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis on dresse un tableau de signes.
- x+18\ \geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant -18
- x-3 \geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant3
- x+3 \geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant-3
On dresse le tableau de signes :
Résolution de l'inéquation
On choisit les intervalles pour lesquels l'expression est positive.
Ainsi, S= \left[-18,-3\right[ \cup \left]3,+\infty\right[
\dfrac{9x^2-4x+8}{9x^2-4} \gt 1
Simplification de l'inéquation
\dfrac{9x^2-4x+8}{9x^2-4} \gt 1
\Leftrightarrow \dfrac{9x^2-4x+8}{9x^2-4} -1 \gt 0
\Leftrightarrow \dfrac{9x^2-4x+8-(9x^2-4)}{9x^2-4} \gt 0
\Leftrightarrow \dfrac{9x^2-4x+8-9x^2+4}{9x^2-4} \gt 0
\Leftrightarrow \dfrac{-4x+12}{9x^2-4} \gt0
\Leftrightarrow \dfrac{-4x+12}{(3x-2)(3x+2)}\gt 0
Étude du signe de l'expression
Pour étudier le signe d'un quotient, on étudie séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis on dresse un tableau de signes.
- -4x+12\ \gt 0 \Leftrightarrow -4x\gt -12\Leftrightarrow x\lt \dfrac{-12}{-4} \Leftrightarrow x\lt 3
- 3x+2 \gt 0 \Leftrightarrow x\gt -\dfrac{2}{3}
- 3x-2 \gt 0 \Leftrightarrow x\gt \dfrac{2}{3}
On dresse le tableau de signes :
Résolution de l'inéquation
On choisit les intervalles pour lesquels l'expression est strictement positive.
Ainsi, S= \left]-\infty,-\dfrac{2}{3}\right[ \cup \left] \dfrac{2}{3},3\right[
\dfrac{7x^2+x-10}{x^2-1} \lt 7
Simplification de l'inéquation
\dfrac{7x^2+x-10}{x^2-1} \lt 7
\Leftrightarrow \dfrac{7x^2+x-10}{x^2-1} -7 \lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{7x^2+x-10-7(x^2-1)}{x^2-1} \lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{7x^2+x-10-7x^2+7}{x^2-1} \lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{x^2-1} \lt0
\Leftrightarrow \dfrac{x-3}{(x-1)(x+1)}\lt 0
Étude du signe de l'expression
Pour étudier le signe d'un quotient, on étudie séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis on dresse un tableau de signes.
- x-3 \gt 0 \Leftrightarrow x\gt 3
- x-1 \gt 0 \Leftrightarrow x\gt 1
- x+1 \gt 0 \Leftrightarrow x\gt -1
On dresse le tableau de signes :
Résolution de l'inéquation
On choisit les intervalles pour lesquels l'expression est strictement négative.
Ainsi, S= \left]-\infty,-1\right[ \cup \left] 1{,}3\right[