Dans chacun des cas suivants, donner le tableau de signes de la fonction f.
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x-1)(-2x^2+2x+4)
On cherche à étudier le signe de f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x-1)(-2x^2+2x+4)
Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chacun de ses facteurs puis on dresse un tableau de signes.
Étude du signe de -2x^2+2x+4
Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.
On a :
- Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
- Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
- Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.
On a :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times (-2) \times 4 =4+32=36=6^2
\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-6}{-4}=2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+6}{-4}=-1
Donc le polynôme du second degré -2x^2+2x+4 est négatif à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -1 et 2, et positif à l'intérieur de cet intervalle.
Étude du signe de 2x-1
On résout :
2x-1\gt0
\Leftrightarrow 2x\gt1
\Leftrightarrow x\gt \dfrac{1}{2}
Écriture du tableau de signes
On obtient donc le tableau de signes de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(3x-6)(2x^2-2)
On cherche à étudier le signe de f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(3x-6)(2x^2-2)
Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chacun de ses facteurs puis on dresse un tableau de signes.
Étude du signe de 2x^2-2
Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.
On a :
- Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
- Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
- Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.
On a :
\Delta=b^2-4ac=0^2-4\times 2 \times (-2) =16=4^2
\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4}{4}=-1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4}{4}=1
Donc le polynôme du second degré 2x^2-2 est positif à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -1 et 1, et négatif à l'intérieur de cet intervalle.
Étude du signe de 3x-6
On résout :
3x-6\gt0
\Leftrightarrow 3x\gt6
\Leftrightarrow x\gt 2
Écriture du tableau de signes
On obtient donc le tableau de signes de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x+1)(3x^2-18x+24)
On cherche à étudier le signe de f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x+1)(3x^2-18x+24)
Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chacun de ses facteurs puis on dresse un tableau de signes.
Étude du signe de 3x^2-18x+24
Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.
On a :
- Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
- Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
- Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.
On a :
\Delta=b^2-4ac=18^2-4\times 3 \times (24) =324-288=36=6^2
\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{18-6}{6}=2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{18+6}{6}=4
Donc le polynôme du second degré 3x^2-18x+24 est positif à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines 2 et 4, et négatif à l'intérieur de cet intervalle.
Étude du signe de x+1
On résout :
x+1\gt0
\Leftrightarrow x\gt-1
Écriture du tableau de signes
On obtient donc le tableau de signes de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-1)(-2x^2+2x+12)
On cherche à étudier le signe de f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(x-1)(-2x^2+2x+12)
Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chacun de ses facteurs puis on dresse un tableau de signes.
Étude du signe de -2x^2+2x+12
Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.
On a :
- Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
- Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
- Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.
On a :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times (-2) \times 12 =4+96=100=10^2
\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-10}{-4}=3
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+10}{-4}=-2
Donc le polynôme du second degré -2x^2+2x+12 est négatif à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -2 et 3, et positif à l'intérieur de cet intervalle.
Étude du signe de x-1
On résout :
x+1\gt0
\Leftrightarrow x\gt-1
Écriture du tableau de signes
On obtient donc le tableau de signes de f :
Soit la fonction f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x+4)(x^2+x+1)
On cherche à étudier le signe de f définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=(2x+4)(x^2+x+1)
Afin d'étudier le signe d'un produit, on étudie le signe de chacun de ses facteurs puis on dresse un tableau de signes.
Étude du signe de x^2+x+1
Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.
On a :
- Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
- Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
- Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.
On a :
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1 \times 1 =1-4=-3
\Delta\lt0 donc le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
Donc le polynôme est positif sur \mathbb{R}.
Donc le signe de la fonction f est celui de la fonction affine 2x+4.
Étude du signe de 2x+4
On résout :
2x+4\gt0
\Leftrightarrow 2x\gt-4
\Leftrightarrow x\gt-2
Donc f est négative pour x\lt-2 et positive pour x\gt-2.
On obtient donc le tableau de signes de f :
