Soient a, b et c trois réels quelconques avec a \neq 0.
On cherche les solutions de l'équation :
ax^2+bx+c = 0
Quels sont les coefficients \alpha et \beta de la forme canonique du polynôme ax^2+bx+c ?
La forme canonique d'un polynôme ax^2+bx+c est la suivante :
a(x-\alpha)^2+\beta
avec \alpha = \dfrac{-b}{2a} et \beta = -\dfrac{b^2-4ac}{4a}
On pose \Delta = b^2-4ac .
Quelle forme prend l'équation ax^2+bx+c = 0 en factorisant la forme canonique du polynôme par a et en introduisant \Delta ?
On commence par introduire la forme canonique du polynôme, ainsi :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a(x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a} = 0
On factorise par a :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a \left ((x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \right ) = 0
On introduit \Delta = b^2-ac :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a \left((x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right) = 0
En factorisant par a et en introduisant \Delta dans l'équation, on obtient donc :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a \left ((x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right) = 0
Dans le cas où \Delta < 0 , quel est l'ensemble S des solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 ?
Dans le cas où \Delta < 0, on remarque que (x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} est une somme de termes positifs, donc a \left ((x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right) ne change pas de signe, elle reste du signe de a pour tout x \in \mathbb{R}.
Donc l'équation n'a pas de solution si \Delta est strictement négatif.
L'ensemble S des solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 dans le cas où \Delta < 0 est donc :
S = \varnothing
Dans le cas où \Delta = 0 , quel est l'ensemble S des solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 ?
Dans le cas où \Delta = 0, l'équation devient :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a (x+\dfrac{b}{2a})^2= 0
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow (x+\dfrac{b}{2a})^2= 0
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow x+\dfrac{b}{2a}= 0
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}
L'ensemble S des solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 dans le cas où \Delta = 0 est donc :
S = \{\dfrac{-b}{2a} \}
Dans le cas où \Delta \gt 0 , en utilisant une identité remarquable, comment peut-on réécrire l'équation ax^2+bx+c=0 ?
Dans le cas où \Delta \gt 0.
On a :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a \left ((x+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2} \right) = 0
On peut utiliser l'identité remarquable :
u^2-v^2 =(u+v)(u-v)
Avec :
u = x+\dfrac{b}{2a}
et
v = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}
On obtient ainsi :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a \left (x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b}{2a} -\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = 0
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a \left (x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = 0
En utilisant une identité remarquable, on obtient donc :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a \left (x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = 0
Dans le cas où \Delta \gt 0 , quel est l'ensemble S des solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 ?
Dans le cas où \Delta \gt 0, on a montré que :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow a \left (x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) = 0
Donc :
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}=0 \cr \cr \text{ou} \cr \cr x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} =0 \end{cases}
ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \cr \cr \text{ou} \cr\cr x=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{cases}
L'ensemble S des solutions de l'équation ax^2+bx+c=0 dans le cas où \Delta \gt 0 est donc :
S =\left\{ \dfrac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} ; \dfrac{-b+ \sqrt{\Delta}}{2a} \right\}