Étudier le signe d'un produit de fonctions polynôme du second degré Exercice

Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0. On a :

• Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
• Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
• Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, et du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.

 

Ici, on a un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times (-2) \times 4 =4+32=36=6^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

•   x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-6}{-4}=2
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+6}{-4}=-1

 

-2x^2+2x+4 est du signe de a (négatif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -1 et 2, et du signe contraire (positif) à l'intérieur de cet intervalle.

Ici, on a également un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\times (-3) \times 9 =36+108=144=12^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-12}{-6}=1
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+12}{-6}=-3

 

-3x^2-6x+9 est du signe de a (négatif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -3 et 1, et du signe contraire (positif) à l'intérieur de cet intervalle.

On dresse le tableau de signes du produit de facteurs :

Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.

On a :

• Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
• Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
• Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, et du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.

 

Ici, on a un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4\times 2 \times 12 =100-96=4=2^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10-2}{4}=2
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10+2}{4}=3

 

2x^2-10x+12 est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines 2 et 3, et du signe contraire (négatif) à l'intérieur de cet intervalle.

Ici, on a également un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1 \times (-2) =1+8=9=3^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-3}{2}=-2
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+3}{2}=1

 

x^2+x-2 est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -2 et 1, et du signe contraire (négatif) à l'intérieur de cet intervalle.

On dresse le tableau de signes du produit de facteurs :

Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.

On a :

• Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
• Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
• Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, et du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.

 

Ici, on a un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 3 \times (-90) =9+\text{1 080}=\text{1 089}=33^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-33}{6}=-5
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+33}{6}=6

 

3x^2-3x-90 est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -5 et 6, et du signe contraire (négatif) à l'intérieur de cet intervalle.

Ici, on a également un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times 4 \times (-24) =16+384=400=20^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-20}{8}=-3
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+20}{8}=2

 

4x^2+4x-24 est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -3 et 2, et du signe contraire (négatif) à l'intérieur de cet intervalle.

On dresse le tableau de signes du produit de facteurs :

Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.

On a :

• Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
• Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
• Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, et du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.

 

Ici, on a un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=(-15)^2-4\times (-3) \times (-12) =225-144=81=9^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{15-9}{-6}=-1
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{15+9}{-6}=-4

 

-3x^2-15x-12 est du signe de a (négatif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -1 et -4, et du signe contraire (positif) à l'intérieur de cet intervalle.

Ici, on a également un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\times 2 \times 16 =144-128=16=4^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12-4}{4}=2
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12+4}{4}=4

 

2x^2-12x+16 est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines 2 et 4, et du signe contraire (négatif) à l'intérieur de cet intervalle.

On dresse le tableau de signes du produit de facteurs :

Soit une fonction polynôme du second degré d'expression développée ax^2+bx+c, avec a, b et c des nombres réels et a\neq 0.

On a :

• Si \Delta<0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.
• Si \Delta=0, le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}\backslash\{x_0\}, et nul en x_0.
• Si \Delta>0, le polynôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines x_1 et x_2, et du signe de -a à l'intérieur de cet intervalle.

 

Ici, on a un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\times (-4) \times 72 =144+\text{1 152}=\text{1 296}=36^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12-36}{-8}=3
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{12+36}{-8}=-6

 

-4x^2-12x+72 est du signe de a (négatif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -6 et 3, et du signe contraire (positif) à l'intérieur de cet intervalle.

Ici, on a également un trinôme du second degré avec :
\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 1 \times (-10) =9+40=49=7^2

\Delta\gt0 donc le polynôme possède deux racines réelles x_1 et x_2 :

• x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-7}{2}=-2
• x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+7}{2}=5

 

x^2-3x-10 est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle défini par les racines -2 et 5, et du signe contraire (négatif) à l'intérieur de cet intervalle.

On dresse le tableau de signes du produit de facteurs :