Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}^+ par :
f(x) = x^8-16
On veut résoudre l'inéquation suivante sur \mathbb{R}^+ :
f(x) \leqslant 0
En utilisant une identité remarquable, quelle est la forme factorisée de f ?
On a :
f(x) = x^8-16
On peut utiliser l'identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b) avec :
a = x^4
Et :
b= 4
Ainsi :
f(x) = (x^4-4)(x^4+4)
On cherche à étudier le signe de f. Pour cela, il faut étudier le signe des deux termes de f : x^4-4 et x^4+4.
Grâce à une identité remarquable, on peut écrire f sous la forme :
f(x) = (x^4-4)(x^4+4)
Quel est le signe de x^4+4 sur \mathbb{R}^+ ?
On pose :
g(x) = x^4+4
Par opération sur les puissances, on peut écrire :
x^4 = (x^2)^2
On sait que pour tout x \in \mathbb{R}^+, x^2 \geqslant 0.
Donc pour tout x \in \mathbb{R}^+, (x^2)^2 \geqslant 0.
Donc pour tout x \in \mathbb{R}^+, (x^2)^2+ 4 \gt 0.
Donc la fonction g est strictement positive sur \mathbb{R}^+.
Ainsi, le signe de la fonction f est celui du terme x^4-4.
x^4+4 est donc positif sur \mathbb{R}^+.
En utilisant une identité remarquable, quelle est la forme factorisée de h(x) = x^4-4 ?
On pose :
h(x) = x^4-4
On peut utiliser l'identité remarquable a^2-b^2=(a-b)(a+b) avec :
a = x^2
Et :
b= 2
Ainsi :
h(x) = (x^2-2)(x^2+2)
On cherche à étudier le signe de h. Pour cela, il faut étudier le signe des deux termes de h : x^2-2 et x^2+2.
Grâce à une identité remarquable, on peut donc écrire h sous la forme :
h(x) = (x^2-2)(x^2+2)
Quel est le signe de x^2+2 sur \mathbb{R}^+ ?
Soit x \in \mathbb{R}.
On sait que :
x^2 \geqslant 0
Donc :
x^2+2 \gt 0
Comme x^2+2 est strictement positif sur \mathbb{R}, le signe de h dépend uniquement du signe du terme x^2-2.
Or, on a montré que le signe de f dépend uniquement du signe de h.
On peut donc dire que le signe de f dépend uniquement du signe de x^2-2.
x^2+2 est donc strictement positif sur \mathbb{R}.
Quel est l'ensemble S des solutions de l'équation f(x) \leqslant 0 sur \mathbb{R}^+ ?
On a montré que le signe de f dépend uniquement du signe de x^2-2, c'est-à-dire :
x^8 - 16 \leqslant 0 \Leftrightarrow x^2-2 \leqslant 0
x^8 - 16 \leqslant 0 \Leftrightarrow x^2 \leqslant 2
x^8 - 16 \leqslant 0 \Leftrightarrow x \leqslant \sqrt{2}
Ainsi l'ensemble des solutions de l'équation x^8 - 16 \leqslant 0 est l'ensemble des x \in \mathbb{R}^+, tel que x \leqslant \sqrt{2} .
L'ensemble S des solutions de l'équation f(x) \leqslant 0 sur \mathbb{R}^+ est donc :
S = [0\text{ };\sqrt{2}]