On considère la figure suivante :
ABCD est un carré de côté x et BE=3.
On cherche les longueurs de x qui permettent à l'aire du triangle ACE d'être supérieure au tiers de l'aire du carré.
Quelle est la fonction A qui donne l'aire du carré ABCD en fonction de x ?
ABCD est un carré de côté x.
Donc :
A(x) = x^2
La fonction A qui donne l'aire du carré ABCD en fonction de x est donc A(x) = x^2 .
Quelle est la fonction T qui donne l'aire du triangle AEC en fonction de x ?
AEC est un triangle de base EC et de hauteur AB.
Or, l'aire d'un triangle est donnée par la formule :
\dfrac{\text{base}\times \text{hauteur} }{2}
Donc :
T(x) = \dfrac{x(x-3)}{2}
T(x) = \dfrac{x(x-3)}{2}
La fonction T qui donne l'aire du triangle AEC en fonction de x est donc T(x) = \dfrac{x(x-3)}{2}.
Quelle est l'inéquation qui traduit le problème ?
On cherche les longueurs de x qui permettent à l'aire du triangle d'être supérieure au tiers de l'aire du carré.
C'est-à-dire :
T(x) \geqslant \dfrac{A(x)}{3}
Or, on connaît T et A :
T(x) \geqslant \dfrac{A(x)}{3} \Leftrightarrow \dfrac{x^2-3x}{2} \geqslant \dfrac{x^2}{3}
T(x) \geqslant \dfrac{A(x)}{3} \Leftrightarrow 3x^2-9x \geqslant 2x^2
T(x) \geqslant \dfrac{A(x)}{3} \Leftrightarrow x^2-9x \geqslant 0
L'équation qui traduit le problème est donc x^2-9x \geqslant 0.
Quel est l'ensemble S des solutions permettant de faire en sorte que l'aire du triangle ACE soit supérieure au tiers de l'aire du carré ABCD ?
On cherche les solutions de l'équation :
x^2-9x \geqslant 0
On étudie donc le polynôme p(x) = x^2-9x afin de déterminer son signe.
Un polynôme du second degré est du signe du coefficient devant x^2, dans le cas présent il est positif, sauf entre ses racines.
On cherche les racines de p.
0 est une racine évidente de p.
On peut donc factoriser p par x.
On obtient :
p(x)=x(x-9)
9 est donc la deuxième racine de p.
Donc p est positif sur ]-\infty;0]\cup [9;+\infty[ .
Cependant, x représente une longueur, donc x ne peut pas être négatif.
L'ensemble S des solutions permettant de faire en sorte que l'aire du triangle ACE soit supérieure au tiers de l'aire du carré ABCD est donc S = [9;+\infty[.