Soit f la fonction suivante :
f(x) = \dfrac{6x^2-46x+80}{x^2-7x+10}
On veut résoudre l'équation suivante :
f(x) = 2
Quel est l'ensemble de définition S de f ?
La fonction f est un quotient de deux polynômes du second degré.
Donc f est définie sur \mathbb{R} sauf sur les racines du dénominateur.
On cherche donc les racines de :
Q(x) = x^2-7x+10
On peut calculer le discriminant de Q :
\Delta = b^2-4ac = (-7)^2-4\times 1 \times 10
\Delta = 9 = 3^2
Les racines de Q sont donc :
x_1 = \dfrac{7-3}{2}=2
x_2 = \dfrac{7+3}{2}=5
L'ensemble de définition de f est donc :
S = \mathbb{R} \backslash \{2;5\}
Quelle est la forme de l'équation permettant de la résoudre facilement ?
Afin de résoudre facilement l'équation f(x) = 2, il faut essayer de la ramener à une équation de recherche des racines d'un polynôme du second degré.
On a :
f(x) = \dfrac{6x^2-46x+80}{x^2-7x+10}
On a donc :
f(x) = 2 \Leftrightarrow \dfrac{6x^2-46x+80}{x^2-7x+10} =2
f(x) = 2 \Leftrightarrow 6x^2-46x+80 =2 (x^2-7x+10)
f(x) = 2 \Leftrightarrow 6x^2-46x+80 =2 x^2-14x+20
f(x) = 2 \Leftrightarrow 6x^2-46x+80 - (2 x^2-14x+20)=0
f(x) = 2 \Leftrightarrow 4x^2-32x+60 =0
L'équation équivalente à f(x)=2) simple à résoudre est donc :
4x^2-32x+60 =0
Quel est l'ensemble S_1 des solutions de l'équation f(x)=2 ?
On a montré que :
f(x) = 2 \Leftrightarrow 4x^2-32x+60 =0
On cherche les solutions de :
4x^2-32x+60 =0
On peut calculer le discriminant :
\Delta = (-32)^2-4\times4\times 60 = 1024-960 = 64 = 8^2
Les racines du polynôme 4x^2-32x+60 sont donc :
x_1 = \dfrac{32-8}{8}=3
x_2 = \dfrac{32+8}{8}=5
Cependant, f est définie sur \mathbb{R} \backslash \{2;5\} .
La seule solution de l'équation f(x) = 2 est donc x=3.
L'ensemble des solutions de l'équation f(x) = 2 est donc :
S_1= \{3\}