Déterminer l'ensemble des solutions des inéquations suivantes.
4x^2-64x+256\lt 0
On cherche dans un premier temps les solutions de l'équation suivante :
4x^2-64x+256 = 0
Pour cela, on calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(-64)^2-4\times 4\times 256 =4096-4096=0
Le discriminant est nul, donc le polynôme possède une unique racine :
x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{64}{2\times4}=8
Le coefficient a=4 est positif, donc la fonction f définie par \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 4x^2-64x+256 est positive sur \mathbb{R}.
Or, on cherche à résoudre :
4x^2-64x+256\lt 0
L'ensemble S des solutions de l'inéquation est donc :
S=\emptyset
x^2+x-6\lt 0
On cherche dans un premier temps les solutions de l'équation suivante :
x^2+x-6 = 0
Pour cela, on calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1\times (-6) =1+24=25=5^2
Le discriminant est positif, donc le polynôme possède deux racines distinctes :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-5}{2\times1}=-3
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+5}{2\times1}=2
Le coefficient a=1 est positif, donc la fonction f définie par \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = x^2+x-6 est positive sur ]-\infty,-3] \cup [2,+\infty [.
Or, on cherche à résoudre :
x^2+x-6\lt 0
L'ensemble S des solutions de l'inéquation est donc :
S=]-3{,}2[
4x^2+12x-16\gt 0
On cherche dans un premier temps les solutions de l'équation suivante :
4x^2+12x-16 = 0
Pour cela, on calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=12^2-4\times 4\times (-16) =144+256=400=20^2
Le discriminant est positif, donc le polynôme possède deux racines distinctes :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12-20}{2\times4}=-4
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-12+20}{2\times4}=1
Le coefficient a=4 est positif, donc la fonction f définie par \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 4x^2+12x-16 est positive sur ]-\infty,-4[ \cup ]1,+\infty [.
Or, on cherche à résoudre :
4x^2+12x-16\gt 0
L'ensemble S des solutions de l'inéquation est donc :
S=]-\infty,-4[ \cup ]1,+\infty [
3x^2-15x+18 \lt 0
On cherche dans un premier temps les solutions de l'équation suivante :
3x^2-15x+18 = 0
Pour cela, on calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=(-15)^2-4\times 3\times 18 =225-216=9=3^2
Le discriminant est positif, donc le polynôme possède deux racines distinctes :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{15-3}{2\times3}=2
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{15+3}{2\times3}=3
Le coefficient a=3 est positif, donc la fonction f définie par \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 3x^2-15x+18 est positive sur ]-\infty,2[ \cup ]3,+\infty [.
Or, on cherche à résoudre :
3x^2-15x+18 \lt 0
L'ensemble S des solutions de l'inéquation est donc :
S=]2{,}3[
5x^2+75x+250 \lt 0
On cherche dans un premier temps les solutions de l'équation suivante :
5x^2+75x+250 = 0
Pour cela, on calcule le discriminant :
\Delta=b^2-4ac=75^2-4\times 5\times 250 =5625-5000=625=25^2
Le discriminant est positif, donc le polynôme possède deux racines distinctes :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-75-25}{2\times5}=-10
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-75+25}{2\times5}=-5
Le coefficient a=5 est positif, donc la fonction f définie par \forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 5x^2+75x+250 est positive sur ]-\infty,-10[ \cup ]-5,+\infty [.
Or, on cherche à résoudre :
5x^2+75x+250 \lt 0
L'ensemble S des solutions de l'inéquation est donc :
S=]-10,-5[