L'entreprise Microtutur fabrique de petites turbines. Le coût de production C(x) dépend du nombre x de turbines produites chaque jour.
La fonction C est définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, C(x)=x^2+\text{7 500}
Une turbine est vendue 200 € et on suppose que toutes les turbines produites sont vendues. Le bénéfice réalisé lors de la fabrication et la vente de x turbines est égal à la recette réalisée diminuée du coût de production des x turbines.
Soient R la fonction représentant la recette et B la fonction représentant le bénéfice.
Déterminer l'inéquation donnant le nombre de turbines à produire et à vendre pour obtenir, au moins, un bénéfice de 2 000 €.
D'après l'énoncé, la recette de la vente de x turbines à 200 € l'unité est :
R(x) = 200x
D'après l'énoncé, le bénéfice réalisé est :
B(x) = R(x) - C(x)
B(x)= 200x - (x^2 + \text{7 500})
B(x)= -x^2 + 200x - \text{7 500}
Le nombre de turbines à fabriquer pour que la production et la vente soient supérieurs à un bénéfice de 2 000 € correspond aux solutions de l'inéquation :
B(x) \geqslant \text{2 000}
L'inéquation à résoudre est donc :
-x^2 + 200x - \text{7 500} \geqslant \text{2 000}
Un restaurant possède une salle de 200 couverts et effectue deux services par jour. À chaque service, un couvert rapporte 50 €.
Le coût de production du repas C(x), y compris toutes les charges, dépend du nombre de couverts x servis chaque jour
La fonction C est définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, C(x)=\text{5 000}+100x-0{,}5x^2
Soient R la fonction représentant la recette et B la fonction représentant le bénéfice.
Déterminer l'inéquation donnant le nombre de couverts à servir afin que le restaurant effectue un bénéfice.
D'après l'énoncé, la recette de la vente de x couverts à 50 € l'unité est :
R(x) = 50x
D'après l'énoncé, le bénéfice réalisé est :
B(x) = R(x) - C(x)
B(x)= 50x - (\text{5 000}+100x-0{,}5x^2)
B(x)= 0{,}5x^2 -50x - \text{5 000}
Le nombre de couvert à servir afin que le restaurant effectue un bénéfice correspond aux solutions de l'inéquation :
B(x) \geqslant 0
L'inéquation à résoudre est donc :
0{,}5x^2 -50x - \text{5 000} \geqslant 0
Un hôtel de 400 chambres loue ses chambres 300 € par nuit.
Le coût de gestion d'une chambre C(x) dépend du nombre de chambre occupées x chaque nuit.
La fonction C est définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, C(x)=\text{60 000}+100x-0{,}3x^2
Soient R la fonction représentant la recette et B la fonction représentant le bénéfice.
Déterminer l'inéquation donnant le nombre de chambres d'hôtel à louer chaque nuit afin que l'hôtel effectue du bénéfice.
D'après l'énoncé, la recette de la location de x chambres à 300 euros la nuit est :
R(x) = 300x
D'après l'énoncé, le bénéfice réalisé est :
B(x) = R(x) - C(x)
B(x)= 300x - (\text{60 000}+100x-0{,}3x^2)
B(x)= 0{,}3x^2 +200x - \text{60 000}
Le nombre de chambres à louer chaque nuit pour que l'hôtel réalise un bénéfice correspond aux solutions de l'inéquation :
B(x) \geqslant 0
L'inéquation à résoudre est donc :
0{,}3x^2 +200x - \text{60 000} \geqslant 0
Une usine fabrique des enceintes. Le coût de production d'une enceinte C(x) dépend du nombre d'enceintes produites x.
La fonction C est définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, C(x)=\text{3 000}+10x-x^2
Une enceinte est vendue 50 € et on suppose que toutes les enceintes produites sont vendues. Le bénéfice réalisé lors de la fabrication et la vente de x enceintes est égal à la recette réalisée diminuée du coût de production des x enceintes.
Soient R la fonction représentant la recette et B la fonction représentant le bénéfice.
Déterminer l'inéquation donnant le nombre d'enceintes à produire et à vendre pour obtenir, au moins, un bénéfice de 4 000 €.
D'après l'énoncé, la recette de la vente de x enceintes à 50 € l'unité est :
R(x) = 50x
D'après l'énoncé, le bénéfice réalisé est :
B(x) = R(x) - C(x)
B(x)= 50x - (\text{3 000}+10x-x^2)
B(x)= x^2 +40x - \text{3 000}
Le nombre d'enceintes à fabriquer pour que la production et la vente soient supérieures à un bénéfice de 4 000 € correspond aux solutions de l'inéquation :
B(x) \geqslant \text{4 000}
L'inéquation à résoudre est donc :
x^2 +40x - \text{3 000} \geqslant \text{4 000}
Une usine fabrique des ordinateurs. Le coût de production d'un ordinateur C(x) dépend du nombre d'ordinateurs produits x.
La fonction C est définie par :
\forall x \in \mathbb{R}, C(x)=4562-589x+x^2
Un ordinateur est vendu 1 250 € et on suppose que tous les ordinateurs produits sont vendus. Le bénéfice réalisé lors de la fabrication et la vente de x ordinateurs est égal à la recette réalisée diminuée du coût de production des x ordinateurs.
Soient R la fonction représentant la recette et B la fonction représentant le bénéfice.
Déterminer l'inéquation donnant le nombre d'ordinateurs à produire et à vendre pour obtenir, au moins, un bénéfice de 10 000 €.
D'après l'énoncé, la recette de la vente de x ordinateurs à 1 250 € l'unité est :
R(x) = \text{1 250}x
D'après l'énoncé, le bénéfice réalisé est :
B(x) = R(x) - C(x)
B(x)= 1250x - (\text{4 562}-589x+x^2)
B(x)= -x^2 +\text{1 839}x - \text{4 562}
Le nombre d'ordinateurs à fabriquer pour que la production et la vente soient supérieures à un bénéfice de 10 000 € correspond aux solutions de l'inéquation :
B(x) \geqslant \text{10 000}
L'inéquation à résoudre est donc :
-x^2 +\text{1 839}x - \text{4 562} \geqslant \text{10 000}