Résoudre les inéquations suivantes sur \mathbb{R}.
(I) : x^2+x \lt 0
L'inéquation n'ayant pas de coefficient constant, on peut factoriser par x :
x^2+x \lt 0
\Leftrightarrow x(x+1) \lt 0
Pour déterminer le signe d'un produit, on étudie séparément le signe de chaque facteur et on dresse ensuite un tableau de signes.
- x\gt0 \Leftrightarrow x\in \left] 0;+\infty \right[
- x+1\gt0 \Leftrightarrow x\gt-1
On dresse alors le tableau de signes du produit :
On en déduit les solutions de l'inéquation qui sont les intervalles pour lesquels le produit est strictement négatif.
Notons que l'on pouvait retrouver le résultat rapidement. En effet, la fonction x \mapsto x^2 + x est un polynôme dont les racines sont 0 et -1. On sait alors que le signe d'une fonction polynomiale est donné par celui du coefficient dominant à l'extérieur des racines, et du signe opposé à celui du coefficient dominant à l'intérieur des racines. Le coefficient dominant étant ici positif (égal à 1), on conclut directement que le polynôme est négatif entre ses racines, donc entre -1 et 0.
On obtient donc S=\left]-1{,}0\right[.
(I) : 2x^2+4x \lt 0
L'inéquation n'ayant pas de coefficient constant, on peut factoriser par x :
x^2+x \lt 0
\Leftrightarrow x(2x+4) \lt 0
Pour déterminer le signe d'un produit, on étudie séparément le signe de chaque facteur et on dresse ensuite un tableau de signes.
- x\gt0 \Leftrightarrow x\in \left] 0;+\infty \right[
- 2x+4\gt0 \Leftrightarrow x\gt-2
On dresse alors le tableau de signes du produit :
On en déduit les solutions de l'inéquation qui sont les intervalles pour lesquels le produit est strictement négatif.
Notons que l'on pouvait retrouver le résultat rapidement. En effet, la fonction x \mapsto 2x^2 + 4x est un polynôme dont les racines sont 0 et -2. On sait alors que le signe d'une fonction polynomiale est donné par celui du coefficient dominant à l'extérieur des racines, et du signe opposé à celui du coefficient dominant à l'intérieur des racines. Le coefficient dominant étant ici positif (égal à 2), on conclut directement que le polynôme est négatif entre ses racines, donc entre -2 et 0.
On obtient donc S=\left]-2{,}0\right[.
(I) : x^2-2x \lt 0
L'inéquation n'ayant pas de coefficient constant, on peut factoriser par x :
x^2-2x \lt 0
\Leftrightarrow x(x-2) \lt 0
Pour déterminer le signe d'un produit, on étudie séparément le signe de chaque facteur et on dresse ensuite un tableau de signes.
- x\gt0 \Leftrightarrow x\in \left] 0;+\infty \right[
- x-2\gt0 \Leftrightarrow x\gt2
On dresse alors le tableau de signes du produit :
On en déduit les solutions de l'inéquation qui sont les intervalles pour lesquels le produit est strictement négatif :
Notons que l'on pouvait retrouver le résultat rapidement. En effet, la fonction x \mapsto x^2 - 2x est un polynôme dont les racines sont 0 et 2. On sait alors que le signe d'une fonction polynomiale est donné par celui du coefficient dominant à l'extérieur des racines, et du signe opposé à celui du coefficient dominant à l'intérieur des racines. Le coefficient dominant étant ici positif (égal à 1), on conclut directement que le polynôme est négatif entre ses racines, donc entre 0 et 2.
On obtient donc S=\left]0{,}2\right[.
(I) : x^2-5x \lt 0
L'inéquation n'ayant pas de coefficient constant, on peut factoriser par x :
x^2-5x \lt 0
\Leftrightarrow x(x-5) \lt 0
Pour déterminer le signe d'un produit, on étudie séparément le signe de chaque facteur et on dresse ensuite un tableau de signes.
- x\gt0 \Leftrightarrow x\in \left] 0;+\infty \right[
- x-5\gt0 \Leftrightarrow x\gt5
On dresse alors le tableau de signes du produit :
On en déduit les solutions de l'inéquation qui sont les intervalles pour lesquels le produit est strictement négatif.
Notons que l'on pouvait retrouver le résultat rapidement. En effet, la fonction x \mapsto x^2 - 5x est un polynôme dont les racines sont 0 et 5. On sait alors que le signe d'une fonction polynomiale est donné par celui du coefficient dominant à l'extérieur des racines, et du signe opposé à celui du coefficient dominant à l'intérieur des racines. Le coefficient dominant étant ici positif (égal à 1), on conclut directement que le polynôme est négatif entre ses racines, donc entre 0 et 5.
On obtient donc S=\left]0{,}5\right[.
(I) : x^2-3x \leqslant 0
L'inéquation n'ayant pas de coefficient constant, on peut factoriser par x :
x^2-3x \leqslant 0
\Leftrightarrow x(x-3) \leqslant 0
Pour déterminer le signe d'un produit, on étudie séparément le signe de chaque facteur et on dresse ensuite un tableau de signes.
- x\geqslant0 \Leftrightarrow x\in \left[ 0;+\infty \right[
- x-3\geqslant0 \Leftrightarrow x\geqslant3
On dresse alors le tableau de signes du produit :
On en déduit les solutions de l'inéquation qui sont les intervalles pour lesquels le produit est strictement négatif :
Notons que l'on pouvait retrouver le résultat rapidement. En effet, la fonction x \mapsto x^2 - 3x est un polynôme dont les racines sont 0 et 3. On sait alors que le signe d'une fonction polynomiale est donné par celui du coefficient dominant à l'extérieur des racines, et du signe opposé à celui du coefficient dominant à l'intérieur des racines. Le coefficient dominant étant ici positif (égal à 1), on conclut directement que le polynôme est négatif entre ses racines, donc entre 0 et 3.
On obtient donc S=\left[0{,}3\right].