Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 3 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 5 \cr\cr -5 \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).
Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
D'après le cours, A et B appartenant à la droite (d), et H étant le projeté orthogonal de C sur (d), on a :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
On peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 4 \cr\cr -4 \end{pmatrix}
On a donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = 3\times 6 + 2\times 4 + (-2) \times (-4)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = 18 + 8 + 8\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = 34
Ainsi, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 34.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -5 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} -3 \cr\cr -7 \cr\cr 1\end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 13 \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).
Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
D'après le cours, A et B appartenant à la droite (d), et H étant le projeté orthogonal de C sur (d), on a :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
On peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr -2 \cr\cr -3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 6 \cr\cr 9 \end{pmatrix}
On a donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -1\times 3 + (-2)\times 6 + (-3) \times 9\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -3 + (-12) + (-27)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -42
Ainsi, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -42.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 3 \cr\cr -2 \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 3 - \sqrt{6} \cr\cr -2 + \sqrt{2} \end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} 5- \sqrt{2} \cr\cr 3-\sqrt{3} \cr\cr -1 \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).
Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
D'après le cours, A et B appartenant à la droite (d), et H étant le projeté orthogonal de C sur (d), on a :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
On peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -\sqrt{6} \cr\cr \sqrt{2} \end{pmatrix} et \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} -\sqrt{2} \cr\cr -\sqrt{3} \cr\cr 1 \end{pmatrix}
On a donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -2\times (-\sqrt{2}) + (-\sqrt{6})\times (-\sqrt{3}) + \sqrt{2} \times 1\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = 2\sqrt{2} + \sqrt{18} + \sqrt{2}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = 6\sqrt{2}
Ainsi, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 6\sqrt{2}.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3} \cr\cr -\dfrac{9}{2} \cr\cr \dfrac{8}{3} \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} \dfrac{10}{3} \cr\cr -\dfrac{11}{2} \cr\cr \dfrac{4}{3} \end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} \dfrac{7}{3} \cr\cr -4 \cr\cr \dfrac{10}{3} \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).
Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
D'après le cours, A et B appartenant à la droite (d), et H étant le projeté orthogonal de C sur (d), on a :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
On peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} \cr\cr -1 \cr\cr -\dfrac{4}{3} \end{pmatrix} et \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}
On a donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = \dfrac{2}{3}\times (-\dfrac{1}{3}) + (-1)\times \dfrac{1}{2} + (-\dfrac{4}{3}) \times \dfrac{2}{3}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -\dfrac{2}{9} - \dfrac{1}{2} -\dfrac{8}{9}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -\dfrac{4}{18} - \dfrac{9}{18} -\dfrac{16}{18}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -\dfrac{29}{18}
Ainsi, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -\dfrac{29}{18}.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit la droite (d) passant par les points A\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{2} \cr\cr \dfrac{1}{6} \cr\cr -\dfrac{1}{12} \end{pmatrix} et B\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr -\dfrac{3}{4} \end{pmatrix}.
Soient un point C qui n'appartient pas à la droite (d), et H\begin{pmatrix} -\dfrac{11}{2} \cr\cr -\dfrac{1}{6} \cr\cr \dfrac{7}{12} \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur (d).
Que vaut \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} ?
D'après le cours, A et B appartenant à la droite (d), et H étant le projeté orthogonal de C sur (d), on a :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
On peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr \dfrac{1}{3} \cr\cr -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix} et \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr -\dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}
On a donc :
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = 3\times (-3) + \dfrac{1}{3} \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) + \left( -\dfrac{2}{3} \right) \times \dfrac{2}{3} \\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -9 - \dfrac{1}{9} -\dfrac{4}{9}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -\dfrac{81}{9} - \dfrac{1}{9} -\dfrac{4}{9}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = -\dfrac{86}{9}
Ainsi, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -\dfrac{86}{9}.