Dans un repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 5 \cr\cr -6 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 1 \cr\cr 7 \end{pmatrix}.
Que vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ?
D'après le cours, soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
Ici, on a donc :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-2\times3 + 5\times1 +(-6)\times 7\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-6 + 5 -42
Ainsi, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-43.
Dans un repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 4 \cr\cr 9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr -3 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.
Que vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ?
D'après le cours, soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
Ici, on a donc :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=4\times6 + 4\times(-3) +9\times (-2)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=24 -12 -18
Ainsi, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-6.
Dans un repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 7 \cr\cr -9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 8 \cr\cr -5 \end{pmatrix}.
Que vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ?
D'après le cours, soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
Ici, on a donc :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-3\times8 + 7\times8 +(-9)\times (-5)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-24 +56 +45
Ainsi, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=77.
Dans un repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -\sqrt{2} \cr\cr \dfrac{4}{9} \cr\cr \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -\sqrt{8} \cr\cr \dfrac{3}{2} \cr\cr 2 \end{pmatrix}.
Que vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ?
D'après le cours, soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
Ici, on a donc :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-\sqrt{2}\times(-\sqrt{8}) + \dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 2\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\sqrt{16} +\dfrac{2}{3} +\sqrt{3}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=4 +\dfrac{2}{3} +\sqrt{3}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{12}{3} +\dfrac{2}{3} +\sqrt{3}
Ainsi, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{14}{3} +\sqrt{3}.
Dans un repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \dfrac{5}{7} \cr\cr -\dfrac{3}{5} \cr\cr \dfrac{7}{3} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{11} \cr\cr -\dfrac{7}{4} \cr\cr \dfrac{3}{5} \end{pmatrix}.
Que vaut \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ?
D'après le cours, soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
Ici, on a donc :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{5}{7}\times\left(-\dfrac{4}{11} \right) +\left( -\dfrac{3}{5} \right)\times\left( -\dfrac{7}{4} \right) +\dfrac{7}{3}\times \dfrac{3}{5}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-\dfrac{20}{77} +\dfrac{21}{20} +\dfrac{7}{5}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-\dfrac{20}{77} +\dfrac{21}{20} +\dfrac{28}{20}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-\dfrac{400}{1540} +\dfrac{1617}{1540} +\dfrac{2156}{1540}\\
Ainsi, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\dfrac{3373}{1540}.