Dans le cube représenté ci-dessous, la droite (GD) est-elle orthogonale au plan (BCD) ?
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Or, ici, on peut remarquer que (GD) et (CD) ne sont pas orthogonales par définition d'un cube.
Or, la droite (CD) est incluse dans le plan (BCD).
Ainsi, (GD) n'est pas orthogonale au plan (BCD).
Dans le tétraèdre régulier représenté ci-dessous, la droite (AC) est-elle orthogonale au plan (BCD) ?
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Or, ici, si l'on se place dans le triangle équilatéral ACD, on peut remarquer que (AC) et (CD) ne sont pas orthogonales par définition d'un triangle équilatéral.
Or, (CD) est incluse dans le plan (BCD).
Ainsi, (AC) n'est pas orthogonale au plan (BCD).
Dans le tétraèdre régulier représenté ci-dessous, les points G et H sont les milieux respectifs de [BD] et [CD].
La droite (GH) est-elle orthogonale au plan (ACD) ?
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
D'après la relation de Chasles, et G et H étant les milieux de [BD] et [CD], on peut écrire :
\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{DH}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{GH} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{GH} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}
\overrightarrow{GH} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires, donc (GH) et (BC) sont parallèles.
Or, si l'on se place dans le triangle équilatéral BCA, on peut remarquer que (BC) et (AC) ne sont pas orthogonales par définition d'un triangle équilatéral.
Or, (AC) appartient au plan (ACD).
Donc (BC) n'est pas orthogonale au plan (ACD).
Ainsi, (GH) n'est pas orthogonale au plan (ACD).
Dans les deux cubes identiques représentés ci-dessous, la droite (OK) est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Ici, d'après les propriétés du cube, on peut écrire \overrightarrow{OK} = \overrightarrow{HD}.
Or, d'après les propriétés du cube, \overrightarrow{HD} est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{DC}.
Donc \overrightarrow{OK} est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{DC}.
Donc (OK) est orthogonale aux deux droites (AD) et (DC).
Or (AD) et (DC) sont deux droites sécantes du plan (ABC).
Ainsi, (OK) est orthogonale au plan (ABC).
Dans les deux cubes identiques représentés ci-dessous, la droite (OD) est-elle orthogonale au plan (EFC) ?
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Ici, d'après les propriétés du cube, on peut écrire \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{HA}.
Or, d'après les propriétés du cube, \overrightarrow{HA} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{ED}.
Donc \overrightarrow{OD} est orthogonal au vecteur \overrightarrow{ED}.
Donc (OD) est orthogonale à la droite (ED).
De plus, le projeté orthogonal de A sur la droite (EF) est le point E.
Donc :
\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HE}\cdot\overrightarrow{EF}
Or, \overrightarrow{HE} et \overrightarrow{EF} sont orthogonaux par définition d'un cube.
Donc :
\overrightarrow{HE}\cdot\overrightarrow{EF} = 0\\\Leftrightarrow \overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{EF} = 0
\overrightarrow{HA} et \overrightarrow{EF} sont donc orthogonaux.
Donc \overrightarrow{OD} et \overrightarrow{EF} sont orthogonaux.
Donc (OD) et (EF) sont orthogonales.
Or (ED) et (EF) sont deux droites sécantes du plan (EFC).
Ainsi, (OD) est orthogonale au plan (EFC).