Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 5 \cr\cr -4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -3 \cr\cr -3 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont-ils orthogonaux ?
Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si :
xx'+yy'+zz'=0
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -2\times 4 + 5\times (-3) + (-4)\times (-3)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -8 -15 + 12\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -11
Ainsi, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -\dfrac{3}{4} \cr\cr 0 \cr\cr -5 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 19 \cr\cr -\dfrac{3}{4} \end{pmatrix}.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont-ils orthogonaux ?
Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si :
xx'+yy'+zz'=0
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -\dfrac{3}{4}\times 1 + 0\times 19 + (-5)\times (-\dfrac{3}{4})\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -\dfrac{3}{4} +0 + \dfrac{15}{4}\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{12}{4}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 3
Ainsi, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 6 \cr\cr 2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix}.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont-ils orthogonaux ?
Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si :
xx'+yy'+zz'=0
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 4\times(- 4) + 6\times (3) + 2\times (-1)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -16 +18 -2\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0
Ainsi, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cr\cr -5 \cr\cr \dfrac{2}{3} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cr\cr \dfrac{1}{3} \cr\cr 2\end{pmatrix}.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont-ils orthogonaux ?
Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si :
xx'+yy'+zz'=0
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{\sqrt{2}}{3}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2} + (-5)\times \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\times 2\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{2}{6} -\dfrac{5}{3} +\dfrac{4}{3}\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0
Ainsi, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\sqrt{5} \cr\cr -\dfrac{5}{6} \cr\cr \sqrt{3} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} \sqrt{5} \cr\cr 6 \cr\cr 5\sqrt{3}\end{pmatrix}.
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont-ils orthogonaux ?
Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base orthonormée de l'espace.
Soient \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} deux vecteurs de l'espace de coordonnées respectives \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix} dans la base \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right).
Alors \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si :
xx'+yy'+zz'=0
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -2\sqrt{5}\times\sqrt{5} + \left(-\dfrac{5}{6}\right)\times 6 + \sqrt{3}\times 5\sqrt{3}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -2\times5 -5 +5 \times 3\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = -10 - 5 +15\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0
Ainsi, \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.