Déterminer l'orthogonalité de deux vecteurs sans coordonnées de vecteurs dans l'espace Exercice

D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KG} + \overrightarrow{GL}

Or, K et L étant les milieux respectifs de [FG] et [GC], on peut écrire : 
\overrightarrow{KL} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FG} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{GC}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{KL} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FC}

Si l'on note J' le milieu de [FB], le projeté orthogonal du vecteur \overrightarrow{IJ} sur le plan (BCF) est le vecteur \overrightarrow{FJ'}.

D'après le cours, on peut donc écrire :
\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{FJ'} \cdot \overrightarrow{KJ}\\\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KJ} = \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FB} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2} \overrightarrow{FC} \right)

Or, on peut déduire des propriétés du cube que \overrightarrow{FB} et \overrightarrow{FC} ne sont pas orthogonaux.
Donc :
\overrightarrow{FB} \cdot \overrightarrow{FC} \neq 0\\\Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FB} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2} \overrightarrow{FC} \right) \neq 0\\\Leftrightarrow\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KJ} \neq 0

Le projeté orthogonal de F sur le plan (BCD) est le point B.

D'après le cours, on peut donc écrire :
\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC}

Or, on peut déduire des propriétés du cube que \overrightarrow{BD} et \overrightarrow{BC} ne sont pas orthogonaux.
Donc :
\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC} \neq 0\\\Leftrightarrow\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{FC} \neq 0

Le projeté orthogonal de F sur le plan (GHD) est le point G.

D'après le cours, on peut donc écrire :
\overrightarrow{FD} \cdot \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GD} \cdot \overrightarrow{GD}

Donc \overrightarrow{FD} \cdot \overrightarrow{GD} \neq 0.

D'après la relation de Chasles, on peut écrire :
\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IE} + \overrightarrow{EJ}

Or, I et J étant les milieux respectifs de [EF] et [EA], on peut écrire : 
\overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FE} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{EA}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FA}

Si l'on note L' le milieu de [FB], le projeté orthogonal du vecteur \overrightarrow{KL} sur le plan (FBA) est le vecteur \overrightarrow{IL'}.
Or :
\overrightarrow{IL'} = \overrightarrow{IF} + \overrightarrow{FL'}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IL'} =\dfrac{1}{2} \overrightarrow{EF} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FB}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{IL'} =\dfrac{1}{2} \overrightarrow{EB}

D'après le cours, on peut donc écrire :
\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{IL'}\\\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KJ} = \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FA} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2} \overrightarrow{EB} \right)

Or, on peut déduire des propriétés du cube que \overrightarrow{FA} et \overrightarrow{EB} sont orthogonaux.
Donc :
\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{EB} = 0\\\Leftrightarrow \left( \dfrac{1}{2}\overrightarrow{FA} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{2} \overrightarrow{EB} \right)= 0\\\Leftrightarrow\overrightarrow{IJ} \cdot \overrightarrow{KJ} = 0

On remarque tout d'abord que \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CB}.

Or, \overrightarrow{FB} et \overrightarrow{CB} sont orthogonaux.