Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} passant par le point A\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix} dont un vecteur normal est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr -2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Quel est l'ensemble des points M appartenant au plan \mathcal{P} ?
Soit le point M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} tel que x, y et z sont des réels.
On peut alors trouver :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-2 \cr\cr y \cr\cr z+1 \end{pmatrix}
D'après le cours, M appartient au plan \mathcal{P} si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0\\\Leftrightarrow (x-2)\times(-2) + y\times(-2) +(z+1)\times1 = 0\\\Leftrightarrow -2x -2y + z + 5= 0
Ainsi, M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}\in\mathcal{P} \Leftrightarrow -2x -2y + z + 5= 0.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} passant par le point A\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -3 \cr\cr 6 \end{pmatrix} dont un vecteur normal est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.
Quel est l'ensemble des points M appartenant au plan \mathcal{P} ?
Soit le point M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} tel que x, y et z sont des réels.
On peut alors trouver :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-4 \cr\cr y+3 \cr\cr z-6 \end{pmatrix}
D'après le cours, M appartient au plan \mathcal{P} si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0\\\Leftrightarrow (x-4)\times2 + (y+3)\times0 +(z-6)\times(-2) = 0\\\Leftrightarrow 2x - 8 -2z + 12= 0\\\Leftrightarrow 2x -2z + 4= 0
Ainsi, M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}\in\mathcal{P} \Leftrightarrow 2x -2z + 4= 0.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} passant par le point A\begin{pmatrix} -3 \cr\cr 8 \cr\cr -4 \end{pmatrix} dont un vecteur normal est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 5 \cr\cr -6 \end{pmatrix}.
Quel est l'ensemble des points M appartenant au plan \mathcal{P} ?
Soit le point M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} tel que x, y et z sont des réels.
On peut alors trouver :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+3 \cr\cr y-8 \cr\cr z+4 \end{pmatrix}
D'après le cours, M appartient au plan \mathcal{P} si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0\\\Leftrightarrow (x+3)\times4 + (y-8)\times5 +(z+4)\times(-6) = 0\\\Leftrightarrow 4x + 12 +5y - 40 -6z - 24= 0\\\Leftrightarrow 4x + 5y -6z -52= 0
Ainsi, M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}\in\mathcal{P} \Leftrightarrow 4x + 5y -6z -52= 0.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} passant par le point A\begin{pmatrix} \sqrt{3} \cr\cr \sqrt{5} \cr\cr -4\sqrt{2} \end{pmatrix} dont un vecteur normal est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 4 \cr\cr \dfrac{5}{2} \end{pmatrix}.
Quel est l'ensemble des points M appartenant au plan \mathcal{P} ?
Soit le point M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} tel que x, y et z sont des réels.
On peut alors trouver :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-\sqrt{3} \cr\cr y-\sqrt{5} \cr\cr z+4\sqrt{2} \end{pmatrix}
D'après le cours, M appartient au plan \mathcal{P} si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0\\\Leftrightarrow (x-\sqrt{3})\times(-2) + (y-\sqrt{5})\times4 +(z+4\sqrt{2})\times\dfrac{5}{2} = 0\\\Leftrightarrow -2x + 2\sqrt{3} + 4y - 4\sqrt{5} + \dfrac{5}{2}z + 10\sqrt{2} = 0\\\Leftrightarrow -2x + 4y + \dfrac{5}{2}z +10\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 4\sqrt{5}= 0
Ainsi, M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}\in\mathcal{P} \Leftrightarrow -2x + 4y + \dfrac{5}{2}z +10\sqrt{2} +2\sqrt{3} - 4\sqrt{5}= 0.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} passant par le point A\begin{pmatrix} \sqrt{7} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr -5 \end{pmatrix} dont un vecteur normal est \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -\sqrt{7} \cr\cr 2 \cr\cr \sqrt{3} \end{pmatrix}.
Quel est l'ensemble des points M appartenant au plan \mathcal{P} ?
Soit le point M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} tel que x, y et z sont des réels.
On peut alors trouver :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-\sqrt{7} \cr\cr y-\dfrac{1}{2} \cr\cr z+5 \end{pmatrix}
D'après le cours, M appartient au plan \mathcal{P} si et seulement si :
\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n} = 0\\\Leftrightarrow (x-\sqrt{7})\times(-\sqrt{7}) + (y-\dfrac{1}{2})\times2 +(z+5)\times\sqrt{3} = 0\\\Leftrightarrow -\sqrt{7}x + 7 + 2y - 1 + \sqrt{3}z + 5\sqrt{3} = 0\\\Leftrightarrow -\sqrt{7}x + 2y + \sqrt{3}z + 6 + 5\sqrt{3}= 0
Ainsi, M\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}\in\mathcal{P} \Leftrightarrow -\sqrt{7}x + 2y + \sqrt{3}z + 6 + 5\sqrt{3}= 0.