La base (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) telle que \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 2 \cr\cr 4 \end{pmatrix} est-elle une base orthonormée ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace formant une base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right).
\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est une base orthonormée si la base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est orthogonale (soit si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux) et si \Vert\overrightarrow{u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=\Vert\overrightarrow{w}\Vert=1.
Ici, on remarque que :
\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{3^2 +(-2)^2 + 1^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{9 + 4 + 1}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{14}
\left\| \overrightarrow{u} \right\| \neq 1
Ainsi, (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) n'est pas une base orthonormée.
La base (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) telle que \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est-elle une base orthonormée ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace formant une base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right).
\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est une base orthonormée si la base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est orthogonale (soit si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux) et si \Vert\overrightarrow{u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=\Vert\overrightarrow{w}\Vert=1.
Ici, on remarque que :
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = 1\times 1 + 1\times 0 + 0\times 1 = 1
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} ne sont pas orthogonaux.
Ainsi, (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) n'est pas une base orthonormée.
La base (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) telle que \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -3 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 3 \end{pmatrix} est-elle une base orthonormée ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace formant une base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right).
\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est une base orthonormée si la base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est orthogonale (soit si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux) et si \Vert\overrightarrow{u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=\Vert\overrightarrow{w}\Vert=1.
Ici, on remarque que :
\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{3^2 +0^2 +0^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{9}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = 3
\left\| \overrightarrow{u} \right\| \neq 1
Ainsi, (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) n'est pas une base orthonormée.
La base (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) telle que \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix} est-elle une base orthonormée ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace formant une base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right).
\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est une base orthonormée si la base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est orthogonale (soit si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux) et si \Vert\overrightarrow{u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=\Vert\overrightarrow{w}\Vert=1.
- Les vecteurs sont-ils deux à deux orthogonaux ?
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = -1\times 0 + 0\times 1 + 0\times0 = 0
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w} = -1\times 0 + 0\times 0 + 0\times(-1) = 0
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} = 0\times 0 + 1\times 0 + 0\times(-1) = 0
Les vecteurs sont bien orthogonaux deux à deux.
- Les normes des vecteurs sont-elles toutes égales à 1 ?
\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{(-1)^2 +0^2 +0^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{1}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = 1
\left\| \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{0^2 +1^2 +0^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{1}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{v} \right\| = 1
\left\| \overrightarrow{w} \right\| = \sqrt{0^2 +0^2 +(-1)^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{w} \right\| = \sqrt{1}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{w} \right\| = 1
On a bien :
\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \left\| \overrightarrow{v} \right\| = \left\| \overrightarrow{w} \right\| = 1
Ainsi, (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) est une base orthonormée.
La base (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) telle que \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr 0 \end{pmatrix} est-elle une base orthonormée ?
D'après le cours, soient \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} trois vecteurs de l'espace formant une base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right).
\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est une base orthonormée si la base \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right) est orthogonale (soit si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux) et si \Vert\overrightarrow{u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=\Vert\overrightarrow{w}\Vert=1.
- Les vecteurs sont-ils deux à deux orthogonaux ?
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2}\times 0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 0 + 0\times1 = 0
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w} = \dfrac{1}{2}\times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{1}{2} + 0\times0 = 0
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w} = 0\times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) + 0\times \dfrac{1}{2} + 1\times0 = 0
Les vecteurs sont bien orthogonaux deux à deux.
- Les normes des vecteurs sont-elles toutes égales à 1 ?
\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 +\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 +0^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = 1
\left\| \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{0^2 +0^2 +1^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{1}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{v} \right\| = 1
\left\| \overrightarrow{w} \right\| = \sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 +\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 +0^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{w} \right\| = \sqrt{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} \right\| = 1
On a bien :
\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \left\| \overrightarrow{v} \right\| = \left\| \overrightarrow{w} \right\| = 1
Ainsi, (\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}; \overrightarrow{w}) est une base orthonormée.