Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 0 \cr\cr -1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -4 \cr\cr 2 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur normal à \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}. Le vecteur \overrightarrow{n} est normal à \mathcal{P} si et seulement si :
\begin{cases} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \cr \cr \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n} = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 0y -1z = 0 \cr \cr 0x -4y +2z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2x -z = 0 \cr \cr-4y +2z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{z}{2} \cr \cr y = \dfrac{z}{2} \end{cases}
Tous les vecteurs de la forme \begin{pmatrix} \dfrac{z}{2} \cr\cr \dfrac{z}{2} \cr\cr z \end{pmatrix} sont donc tous des vecteurs normaux à \mathcal{P}.
En prenant z=2, on obtient : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 6 \cr\cr 4 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr 3 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur normal à \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}. Le vecteur \overrightarrow{n} est normal à \mathcal{P} si et seulement si :
\begin{cases} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \cr \cr \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n} = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 6y + 4z = 0 \cr \cr x +2y +3z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} x +3y + 2z = 0 \cr \cr x +2y +3z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} y -z = 0 \qquad (L1 - L2) \cr \cr x +2y +3z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} y = z \cr \cr x +2z +3z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} y = z \cr \cr x = -5z \end{cases}\\
Tous les vecteurs de la forme \begin{pmatrix} -5z \cr\cr z \cr\cr z \end{pmatrix} sont donc tous des vecteurs normaux à \mathcal{P}.
En prenant z=1, on obtient : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -5 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -3 \cr\cr 5 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 3 \cr\cr -3 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur normal à \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}. Le vecteur \overrightarrow{n} est normal à \mathcal{P} si et seulement si :
\begin{cases} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \cr \cr \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n} = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 2x - 3y + 5z = 0 \cr \cr -x +3y -3z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3y -z = 0\qquad (L1 + 2L2) \cr \cr -x +3y -3z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} y = \dfrac{z}{3} \cr \cr -x +3\times \dfrac{z}{3} -3z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}y = \dfrac{z}{3} \cr \cr x= -2z \end{cases}
Tous les vecteurs de la forme \begin{pmatrix} -2z \cr\cr \dfrac{z}{3} \cr\cr z \end{pmatrix} sont donc tous des vecteurs normaux à \mathcal{P}.
En prenant z=3, on obtient : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \sqrt{2} \cr\cr 3 \cr\cr -2\sqrt{5} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -3\sqrt{2} \cr\cr 0 \cr\cr 2\sqrt{5} \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur normal à \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}. Le vecteur \overrightarrow{n} est normal à \mathcal{P} si et seulement si :
\begin{cases} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \cr \cr \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n} = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{2}x + 3y -2\sqrt{5}z = 0 \cr \cr -3\sqrt{2}x +0y 2\sqrt{5}z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{2}x + 3y -2\sqrt{5}z = 0 \cr \cr x = \dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}z \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{2}\dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}z + 3y -2\sqrt{5}z = 0 \cr \cr x = \dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}z \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases}y = \dfrac{4\sqrt{5}}{9}z \cr \cr x = \dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}z \end{cases}
Tous les vecteurs de la forme \begin{pmatrix} \dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}z \cr\cr \dfrac{4\sqrt{5}}{9}z \cr\cr z \end{pmatrix} sont donc tous des vecteurs normaux à \mathcal{P}.
En prenant z=3, on obtient : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} \sqrt{10} \cr\cr \dfrac{4\sqrt{5}}{3} \cr\cr 3 \end{pmatrix}.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -8 \cr\cr 7 \cr\cr 9 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur normal à \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix}. Le vecteur \overrightarrow{n} est normal à \mathcal{P} si et seulement si :
\begin{cases} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} = 0 \cr \cr \overrightarrow{v}.\overrightarrow{n} = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} -8x + 7y + 9z = 0 \cr \cr 2x -y -2z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} 3y +z = 0 \qquad (L1 + 4L2) \cr \cr 2x -y -2z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} y=-\dfrac{z}{3} \cr \cr 2x +\dfrac{z}{3} -2z = 0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} y=-\dfrac{z}{3} \cr \cr x = \dfrac{5z}{6} \end{cases}
Tous les vecteurs de la forme \begin{pmatrix} \dfrac{5z}{6} \cr\cr -\dfrac{z}{3} \cr\cr z \end{pmatrix} sont donc tous des vecteurs normaux à \mathcal{P}.
En prenant z=3, on obtient : \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} \dfrac{5}{2} \cr\cr -1 \cr\cr 3 \end{pmatrix}.