On considère les points dans l'espace suivants :
A\: (1;2;-2)
B \: (-1 ; 3 ; 1)
C\: (2;0;-2)
Ces trois points définissent-ils un unique plan ?
D'après le cours, trois points définissent un plan si et seulement s'ils ne sont pas alignés.
Afin de vérifier si ces trois points sont alignés, on calcule les coordonnées de deux vecteurs afin de vérifier s'ils sont colinéaires ou non.
\overrightarrow{AB} \: \begin{pmatrix} x_B - x_A \cr y_B - y_A \cr z_B -z_A \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1-1 \cr 3-2 \cr 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\cr 1 \cr 3\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC} \: \begin{pmatrix} x_C - x_A \cr y_C - y_A \cr z_C -z_A \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2-1 \cr 0-2 \cr -2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cr -2 \cr 0 \end{pmatrix}
Il n'existe pas de réel k tel que :
\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}
Donc les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires. Par conséquent les points A, B et C ne sont pas alignés.
Les points A, B et C définissent donc un unique plan.
On appelle P l'unique plan auquel appartiennent les points A, B et C.
Quel vecteur \overrightarrow{u} orthogonal au plan P peut-on déterminer ?
D'après le cours, le vecteur \overrightarrow{u} est orthogonal au plan P si et seulement si \overrightarrow{u} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P.
D'après la question précédente, \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont des vecteurs non colinéaires de P.
On note \begin{pmatrix} a \cr b \cr c \end{pmatrix} les coordonnées de \overrightarrow{u}.
\overrightarrow{u} est orthogonale à P \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AB}=0 \\ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AC}=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} -2a+b+3c=0 \\ a-2b=0 \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} 3c=-b+2a=3b \\ a=2b \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{rcl} c=b \\ a=2b \end{array} \right.
En posant b=1, on obtient \overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 2 \cr 1 \cr 1 \end{pmatrix} est un vecteur orthogonal au plan P.
\overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 2 \cr 1 \cr 1 \end{pmatrix} est donc un vecteur orthogonal au plan P.
Quelle équation cartésienne du plan P peut-on en déduire ?
D'après la question précédente, le vecteur \overrightarrow{u} \: \begin{pmatrix} 2 \cr 1 \cr 1 \end{pmatrix} est un vecteur orthogonal au plan P.
Donc l'équation cartésienne du plan P est de la forme :
2x+y+z+d=0 avec d un réel à définir.
A \in P donc :
2x_A+y_A+z_A+d=0 \Leftrightarrow 2 \times 1 + 2 -2 +d = 0 \Leftrightarrow d = d=-2
L'équation cartésienne de P est donc : 2x+y+z-2=0 .
On pose D (2;-1;-3) .
Quelle représentation paramétrique de la droite d orthogonale au plan P et passant par D peut-on déterminer ?
Comme d est une droite orthogonale à P, le vecteur \overrightarrow{u} déterminé à la question 2 en est un vecteur directeur.
On rappelle que les coordonnées de \overrightarrow{u} sont \begin{pmatrix} 2 \cr 1 \cr 1 \end{pmatrix} .
La représentation paramétrique de d est donc :
\left \{ \begin{array}{rcl} x=2t+2 \\ y=t-1 \\ z= t-3 \end{array} \right. . t \in \mathbb{R}