Soit \mathcal{P} le plan dans l'espace d'équation cartésienne :
\mathcal{P} : 2x - 2y + z - 4 = 0
Quel est le projeté orthogonal de A(1;1;1) sur \mathcal{P} ?
On note M(x;y;z) le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P}.
Comme 2x_A-2y_A+z_A-4=2-2+1-4=-3\neq 0, le point A n'appartient pas au plan \mathcal{P}.
Le point M est donc l'unique point de l'espace tel que M\in\mathcal{P} et \overrightarrow{AM} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
D'après l'équation cartésienne donnée de \mathcal{P} , le vecteur
\vec{n} \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
Le vecteur \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1\\y-1\\z-1\end{pmatrix} est donc colinéaire au vecteur \vec{n}.
Donc il existe k \in \mathbb{R} tel que :
\overrightarrow{AM} = k \vec{n} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-1 \cr\cr z-1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 2 \cr\cr -2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} .
Comme M\in\mathcal{P} on a également 2x-2y+z-4=0.
On doit donc résoudre le système \begin{cases}x-1=2k\\y-1=-2k\\z-1=k\\2x-2y+z-4=0\end{cases}.
Or,
\begin{cases}x-1=2k\\y-1=-2k\\z-1=k\\2x-2y+z-4=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=1+2k\\y=1-2k\\z=1+k\\2x-2y+z-4=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=1+2k\\y=1-2k\\z=1+k\\2(1+2k)-2(1-2k)+(1+k)-4=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=1+2k\\y=1-2k\\z=1+k\\9k-3=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=1+2k\\y=1-2k\\z=1+k\\k=\dfrac{1}{3}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{5}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\\k=\dfrac{1}{3}\end{cases}
Ainsi, M\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3}\right) .
Soit \mathcal{P} le plan dans l'espace d'équation cartésienne :
\mathcal{P} : -x + y + z + 1 = 0
Quel est le projeté orthogonal de A(0;1;-1) sur \mathcal{P} ?
On note M(x;y;z) le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P}.
Comme -x_A+y_A+z_A+1=0+1-1+1=1\neq 0, le point A n'appartient pas au plan \mathcal{P}.
Le point M est donc l'unique point de l'espace tel que M\in\mathcal{P} et \overrightarrow{AM} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
D'après l'équation cartésienne donnée de \mathcal{P} , le vecteur
\vec{n} \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
Le vecteur \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x\\y-1\\z+1\end{pmatrix} est donc colinéaire au vecteur \vec{n}.
Donc il existe k \in \mathbb{R} tel que :
\overrightarrow{AM} = k \vec{n} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x \cr\cr y-1 \cr\cr z+1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} .
Comme M\in\mathcal{P} on a également -x+y+z+1=0.
On doit donc résoudre le système \begin{cases}x=-k\\y-1=k\\z+1=k\\-x+y+z+1=0\end{cases}.
Or,
\begin{cases}x=-k\\y-1=k\\z+1=k\\-x+y+z+1=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=-k\\y=k+1\\z=k-1\\-x+y+z+1=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=-k\\y=k+1\\z=k-1\\-(-k)+(k+1)+(k-1)+1=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=-k\\y=k+1\\z=k-1\\3k+1=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=-k\\y=k+1\\z=k-1\\k=\dfrac{-1}{3}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{1}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{-4}{3}\\k=\dfrac{-1}{3}\end{cases}
Ainsi, M\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3} ; -\dfrac{4}{3} \right) .
Soit \mathcal{P} le plan dans l'espace d'équation cartésienne :
\mathcal{P} : 2x + 3y - z - 2 = 0
Quel est le projeté orthogonal de A(3;2;1) sur \mathcal{P} ?
On note M(x;y;z) le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P}.
Comme 2x_A+3y_A-z_A-2=6+6-1-2=9\neq 0, le point A n'appartient pas au plan \mathcal{P}.
Le point M est donc l'unique point de l'espace tel que M\in\mathcal{P} et \overrightarrow{AM} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
D'après l'équation cartésienne donnée de \mathcal{P} , le vecteur
\vec{n} \begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
Le vecteur \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-3\\y-2\\z-1\end{pmatrix} est donc colinéaire au vecteur \vec{n}.
Donc il existe k \in \mathbb{R} tel que :
\overrightarrow{AM} = k \vec{n} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y-2 \cr\cr z-1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 2 \cr\cr 3 \cr\cr -1 \end{pmatrix} .
Comme M\in\mathcal{P} on a également 2x+3y-z-2=0.
On doit donc résoudre le système \begin{cases}x-3=2k\\y-2=3k\\z-1=-k\\2x+3y-z-2=0\end{cases}.
Or,
\begin{cases}x-3=2k\\y-2=3k\\z-1=-k\\2x+3y-z-2=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=2k+3\\y=3k+2\\z=-k+1\\2x+3y-z-2=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=2k+3\\y=3k+2\\z=-k+1\\2(2k+3)+3(3k+2)-(-k+1)-2=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=2k+3\\y=3k+2\\z=-k+1\\14k+9=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=2k+3\\y=3k+2\\z=-k+1\\k=\dfrac{-9}{14}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{12}{7}\\y=\dfrac{1}{14}\\z=\dfrac{23}{14}\\k=\dfrac{-9}{14}\end{cases}
Ainsi, M\left(\dfrac{12}{7} ; \dfrac{1}{14}; \dfrac{23}{14} \right) .
Soit \mathcal{P} le plan dans l'espace d'équation cartésienne :
\mathcal{P} : -2x + 2y + z +1 = 0
Quel est le projeté orthogonal de A(-1;0;1) sur \mathcal{P} ?
On note M(x;y;z) le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P}.
Comme -2x_A+2y_A+z_A+1=2+0+1+1=4\neq 0, le point A n'appartient pas au plan \mathcal{P}.
Le point M est donc l'unique point de l'espace tel que M\in\mathcal{P} et \overrightarrow{AM} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
D'après l'équation cartésienne donnée de \mathcal{P} , le vecteur
\vec{n} \begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
Le vecteur \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x+1\\y\\z-1\end{pmatrix} est donc colinéaire au vecteur \vec{n}.
Donc il existe k \in \mathbb{R} tel que :
\overrightarrow{AM} = k \vec{n} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x+1 \cr\cr y \cr\cr z-1 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} -2 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} .
Comme M\in\mathcal{P} on a également -2x+2y+z+1=0.
On doit donc résoudre le système \begin{cases}x+1=-2k\\y=2k\\z-1=k\\-2x+2y+z+1=0\end{cases}.
Or,
\begin{cases}x+1=-2k\\y=2k\\z-1=k\\-2x+2y+z+1=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=-2k-1\\y=2k\\z=k+1\\-2x+2y+z+1=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=-2k-1\\y=2k\\z=k+1\\-2(-2k-1)+2(2k)+(k+1)+1=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=-2k-1\\y=2k\\z=k+1\\9k+4=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=-2k-1\\y=2k\\z=k+1\\k=\dfrac{-4}{9}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{-1}{9}\\y=\dfrac{-8}{9}\\z=\dfrac{5}{9}\\k=\dfrac{-9}{14}\end{cases}
Ainsi, M\left( - \dfrac{1}{9} ; - \dfrac{8}{9} ; \dfrac{5}{9} \right) .
Soit \mathcal{P} le plan dans l'espace d'équation cartésienne :
\mathcal{P} : x + y + z = 0
Quel est le projeté orthogonal de A(0;1;0) sur \mathcal{P} ?
On note M(x;y;z) le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P}.
Comme x_A+y_A+z_A=0+1+0=1\neq 0, le point A n'appartient pas au plan \mathcal{P}.
Le point M est donc l'unique point de l'espace tel que M\in\mathcal{P} et \overrightarrow{AM} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
D'après l'équation cartésienne donnée de \mathcal{P} , le vecteur
\vec{n} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan \mathcal{P}.
Le vecteur \overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x\\y-1\\z\end{pmatrix} est donc colinéaire au vecteur \vec{n}.
Donc il existe k \in \mathbb{R} tel que :
\overrightarrow{AM} = k \vec{n} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x \cr\cr y-1 \cr\cr z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} .
Comme M\in\mathcal{P} on a également x+y+z=0.
On doit donc résoudre le système \begin{cases}x=k\\y-1=k\\z=k\\x+y+z=0\end{cases}.
Or,
\begin{cases}x=k\\y-1=k\\z=k\\x+y+z=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=k\\y=k+1\\z=k\\x+y+z=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=k\\y=k+1\\z=k\\k+(k+1)+k=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=k\\y=k+1\\z=k\\3k+1=0\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=k\\y=k+1\\z=k\\k=\dfrac{-1}{3}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{-1}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{-1}{3}\\k=\dfrac{-1}{3}\end{cases}
Ainsi, M\left( -\dfrac{1}{3} ; \dfrac{2}{3}; -\dfrac{1}{3} \right) .