Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -4 \cr\cr 0 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 7 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{w} est-il normal au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 2\times 3 + (-1)\times 7 + 0\times (-2)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 6 -7 + 0\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = -1
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{w} ne sont donc pas orthogonaux.
Ainsi, \overrightarrow{w} n'est pas normal au plan \mathcal{P}.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 7 \cr\cr -3 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 6 \cr\cr -2 \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{w} est-il normal au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 2\times 3 + (-1)\times 6 + 0\times (-2)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 6 -6 + 0\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{w} sont donc orthogonaux.
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 1\times 3 + 7\times 6 + (-3)\times (-2)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 3 +42 + 6\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 51
\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} ne sont donc pas orthogonaux.
Ainsi, \overrightarrow{w} n'est pas normal au plan \mathcal{P}.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 4 \cr\cr 3 \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 2 \cr\cr -6 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr -3 \cr\cr \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{w} est-il normal au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 2\times 5 + 4\times (-3) + 3\times \dfrac{2}{3}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 10 -12 + 2\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{w} sont donc orthogonaux.
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 2\times 5 + 2\times (-3) + (-6)\times \dfrac{2}{3}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 10 -6 - 4\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont donc orthogonaux.
Ainsi, \overrightarrow{w} est normal au plan \mathcal{P}.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr \dfrac{1}{3} \cr\cr \sqrt{2} \end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \cr\cr \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr 3 \cr\cr -\dfrac{3}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{w} est-il normal au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = \dfrac{1}{2}\times 4 + \dfrac{1}{3}\times 3 + \sqrt{2}\times \left( -\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right)\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 2 +1 -3\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{w} sont donc orthogonaux.
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = -1\times 4 + 2\times 3 + \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\times \left(-\dfrac{3}{\sqrt{2}} \right) \\\Leftrightarrow \overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = -4 +6 - 2\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont donc orthogonaux.
Ainsi, \overrightarrow{w} est normal au plan \mathcal{P}.
Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), les vecteurs \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cr\cr -\dfrac{\sqrt{2}}{3} \cr\cr0\end{pmatrix} et \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr -\dfrac{32}{27\sqrt{2}} \cr\cr 4 \end{pmatrix} sont non colinéaires et forment un plan \mathcal{P}.
Soit le vecteur \overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 6\sqrt{3} \cr\cr \dfrac{27\sqrt{2}}{2} \cr\cr4 \end{pmatrix}.
Le vecteur \overrightarrow{w} est-il normal au plan \mathcal{P} ?
D'après le cours, un vecteur \overrightarrow{n} est normal à un plan \mathcal{P} si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant une base du plan \mathcal{P}.
Ici, on a :
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 6\sqrt{3} + \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right) \times \dfrac{27\sqrt{2}}{2} + 0\times 4\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 9 -9+0\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{u} et \overrightarrow{w} sont donc orthogonaux.
\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 0\times 6\sqrt{3} + \left( -\dfrac{32}{27\sqrt{2}} \right)\times \dfrac{27\sqrt{2}}{2} + 4\times 4 \\\Leftrightarrow \overrightarrow{v}.\overrightarrow{w} = 0 -16 +16\\\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w} = 0
\overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} sont donc orthogonaux.
Ainsi, \overrightarrow{w} est normal au plan \mathcal{P}.