Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
- la sphère \mathcal{S} de centre A(1;2;3) et de rayon 5 ;
- le plan \mathcal{P}_1 passant par le point C(-1;-1;8) et de vecteur normal \overrightarrow{n}_1\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} ;
- le plan \mathcal{P}_2 passant par le point D(4;2;3) et de vecteur normal \overrightarrow{n}_2\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.
Quelle est la distance du point A au plan \mathcal{P}_1 ?
La distance du point A au plan \mathcal{P}_1 peut être obtenue avec la formule :
d\left(A;\mathcal{P}_1\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{n}_1\right|}{\left\Vert\overrightarrow{n}_1\right\Vert}
Or, dans le repère orthonormé, on a :
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}x_C-x_A\\y_C-y_A\\z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1-1\\-1-2\\8-3\end{pmatrix}
\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\-3\\5\end{pmatrix}
Ainsi :
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{n}_1=-2\times 0+(-3)\times 0+5\times 1=5
De plus :
\left\Vert\overrightarrow{n}_1\right\Vert=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1
Ainsi, d\left(A;\mathcal{P}_1\right)=5.
Quelle est la position relative du plan \mathcal{P}_1 et de la sphère \mathcal{S} ?
La distance du point A au plan \mathcal{P}_1 est égale au rayon de la sphère.
Ainsi, le plan \mathcal{P}_1 est tangent à la sphère \mathcal{S}.
Quelle est la distance du point A au plan \mathcal{P}_2 ?
La distance du point A au plan \mathcal{P}_2 peut être obtenue avec la formule :
d\left(A;\mathcal{P}_2\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{n}_2\right|}{\left\Vert\overrightarrow{n}_2\right\Vert}
Or, dans le repère orthonormé, on a :
\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}x_C-x_A\\y_C-y_A\\z_C-z_A\end{pmatrix}
\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}4-1\\2-2\\3-3\end{pmatrix}
\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}
Ainsi :
\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{n}_2=3\times 1+0\times 0+0\times 0=3
De plus :
\left\Vert\overrightarrow{n}_2\right\Vert=\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1
Par conséquent :
d\left(A;\mathcal{P}_2\right)=\dfrac{3}{1}
Ainsi, d\left(A;\mathcal{P}_2\right)=3.
Quelle est la position relative du plan \mathcal{P}_2 et de la sphère \mathcal{S} ?
La distance du point A au plan \mathcal{P}_2 est strictement inférieure au rayon de la sphère.
Ainsi, le plan \mathcal{P}_2 et la sphère \mathcal{S} sont sécants.
Quel objet géométrique correspond à l'intersection du plan \mathcal{P}_2 et de la sphère \mathcal{S} ?
Le plan \mathcal{P}_2 et la sphère \mathcal{S} sont sécants.
Ainsi, l'intersection du plan \mathcal{P}_2 et de la sphère \mathcal{S} est un cercle.
Quel est le lien entre les points A et D ?
On va montrer que le point D est le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P}_2.
Or, \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} et \overrightarrow{n}_2\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.
Donc les vecteurs \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{n}_2 sont colinéaires.
Le point D appartient donc à la droite passant par A et orthogonale au plan \mathcal{P}_2.
Le point D appartient également au plan \mathcal{P}_2.
Ainsi, le point D est le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P}_2.
Quelles sont les caractéristiques de l'intersection du plan \mathcal{P}_2 et de la sphère \mathcal{S} ?
On sait que :
- L'intersection du plan \mathcal{P}_2 et de la sphère \mathcal{S} est un cercle.
- Le point D est le projeté orthogonal du point A sur le plan \mathcal{P}_2.
Ce cercle admet donc comme centre le point D.
Il reste à déterminer son rayon.
Soit B un point du cercle.
Le triangle ABD est rectangle en D.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
AB^2=AD^2+DB^2
DB^2=AB^2-AD^2
DB^2=5^2-3^2
DB^2=16
DB=\sqrt{16}=4
L'intersection du plan \mathcal{P}_2 et de la sphère \mathcal{S} est le cercle de centre D et de rayon 4, inclus dans le plan \mathcal{P}_2.