Déterminer la distance entre un point et une droite à l'aide du projeté orthogonal et du produit scalaire dans l'espace Exercice

H étant le projeté orthogonal de A sur (d), la distance entre A et (d) est la distance AH.

De plus, on sait que \overrightarrow{AH} et \overrightarrow{HM} sont orthogonaux.

On peut donc écrire :
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AM} = 0\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 \right)= 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\Leftrightarrow 3^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - 2^2 = 0\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = 3^2-2^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = 5\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = \sqrt{5}

(\left\| \overrightarrow{AH} \right\| est nécessairement positive en tant que norme, la solution \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = -\sqrt{5} est donc impossible.)

H étant le projeté orthogonal de A sur (d), la distance entre A et (d) est la distance AH.

De plus, on sait que \overrightarrow{AH} et \overrightarrow{HM} sont orthogonaux.

On peut donc écrire :
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AM} = 0\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 \right)= 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\Leftrightarrow 5^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - 3^2 = 0\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = 5^2-3^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = 16\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = 4

(\left\| \overrightarrow{AH} \right\| est nécessairement positive en tant que norme, la solution \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = -4 est donc impossible.)

H étant le projeté orthogonal de A sur (d), la distance entre A et (d) est la distance AH.

De plus, on sait que \overrightarrow{AH} et \overrightarrow{HM} sont orthogonaux.

On peut donc écrire :
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AM} = 0\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 \right)= 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\Leftrightarrow 3^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \sqrt{3}^2 = 0\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = 3^2-\sqrt{3}^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = 6\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = \sqrt{6}

(\left\| \overrightarrow{AH} \right\| est nécessairement positive en tant que norme, la solution \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = -\sqrt{6} est donc impossible.)

H étant le projeté orthogonal de A sur (d), la distance entre A et (d) est la distance AH.

De plus, on sait que \overrightarrow{AH} et \overrightarrow{HM} sont orthogonaux.

On peut donc écrire :
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AM} = 0\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 \right)= 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\Leftrightarrow \sqrt{10}^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - (2\sqrt{2})^2 = 0\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = \sqrt{10}^2-(2\sqrt{2})^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = 2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = \sqrt{2}

(\left\| \overrightarrow{AH} \right\| est nécessairement positive en tant que norme, la solution \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = -\sqrt{2} est donc impossible.)

H étant le projeté orthogonal de A sur (d), la distance entre A et (d) est la distance AH.

De plus, on sait que \overrightarrow{AH} et \overrightarrow{HM} sont orthogonaux.

On peut donc écrire :
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AM} = 0\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \left( \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 \right)= 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} +\overrightarrow{HM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AM} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{HM} \right\|^2 = 0\\\Leftrightarrow (3\sqrt{10})^2 - \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 - (4\sqrt{5})^2 = 0\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = (3\sqrt{10})^2-(4\sqrt{5})^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\|^2 = 10\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = \sqrt{10}

(\left\| \overrightarrow{AH} \right\| est nécessairement positive en tant que norme, la solution \left\| \overrightarrow{AH} \right\| = -\sqrt{10} est donc impossible.)