Calculer un produit scalaire à l'aide de ses identités remarquables dans l'espace Exercice

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Dernière modification : 25/06/2024 - Conforme au programme 2025-2026

Dans le repère orthonormé \left( O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soient des vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} tels que :
\left\| \overrightarrow{u} \right\| = 2, \left\| \overrightarrow{v} \right\| = 3

Que vaut (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) ?

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = -5

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = 5

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = 4

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = -4

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 - \overrightarrow{v}^2\\\Leftrightarrow (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = \left\| \overrightarrow{u} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{v} \right\|^2\\\Leftrightarrow (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = 2^2 - 3^2\\\Leftrightarrow (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = -5

Ainsi, (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = -5.

Que vaut (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) ?

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = 24

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = -24

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = 25

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = -25

(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u}^2 - \overrightarrow{v}^2\\\Leftrightarrow (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = \left\| \overrightarrow{u} \right\|^2 - \left\| \overrightarrow{v} \right\|^2\\\Leftrightarrow (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = 7^2 - 5^2\\\Leftrightarrow (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = 24

Ainsi, (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v}) = 24.

Que vaut \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| ?

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{51}

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = 7

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = 2\sqrt{14}

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = 1

D'après le cours :
\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = \left\| \overrightarrow{u} \right\|^2 + 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \left\| \overrightarrow{v} \right\|^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 4^2 + 2\times13 + 3^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 16 + 26 + 9\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 51\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{51}

Ainsi, \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{51}.

Que vaut \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| ?

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{85}

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{17}

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{77}

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{7}

D'après le cours :
\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = \left\| \overrightarrow{u} \right\|^2 + 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \left\| \overrightarrow{v} \right\|^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 7^2 + 2\times10 + 4^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 49 + 20 + 16\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 85\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{85}

Ainsi, \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{85}.

Que vaut \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| ?

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{46}

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = 3\sqrt{5}

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = 2\sqrt{5}

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = 5\sqrt{3}

D'après le cours,

\left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = \left\| \overrightarrow{u} \right\|^2 + 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} + \left\| \overrightarrow{v} \right\|^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = \sqrt{5}^2 + 2\times8 + 5^2\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 5 + 16 + 25\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\|^2 = 46\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{46}

Ainsi, \left\| \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right\| = \sqrt{46}.