Soient A(1;2;3) un point de l'espace et \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \cr \cr y = 1 + 2t \cr \cr z = -1 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}
Quel est le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} ?
Soit M(x;y;z) \in \mathcal{D} le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} .
Par définition, il existe t \in \mathbb{R} tel que :
\begin{cases} x = 1 + t \cr \cr y = 1 + 2t \cr \cr z = -1 - t \end{cases}
On peut calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}x-1\\y-2\\z-3\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}1+t-1\\1 + 2t - 2\\-1 -t-3\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}t\\-1 + 2t\\-4-t\end{pmatrix}
La droite \mathcal{D} admet pour vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}.
Or le M est le projeté orthogonal du point A si, et seulement si M\in\mathcal{D} et \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0.
Or \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=t\times 1+(-1+2t)\times 2+(-4-t)\times (-1)=6t+2.
Donc \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-1}{3}.
On en déduit :
\begin{cases} x = 1 -\dfrac{1}{3} \cr \cr y = 1 - 2\times \dfrac{1}{3} \cr \cr z = -1 + \dfrac{1}{3} \end{cases}
c'est-à-dire,
M \left( \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3} \right).
Ainsi, M\left( \dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3}; -\dfrac{2}{3} \right) .
Soient A(-1;-1;2) un point de l'espace et \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = 2 + 2t \cr \cr y = -1 + t \cr \cr z = 1 - 3t \end{cases}, t \in \mathbb{R}
Quel est le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} ?
Soit M(x;y;z) \in \mathcal{D} le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} .
Par définition, il existe t \in \mathbb{R} tel que :
\begin{cases} x = 2+2t \cr \cr y = -1 + t \cr \cr z = 1 - 3t \end{cases}
On peut calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}x+1\\y+1\\z-2\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}2+2t+1\\-1+t+1\\1-3t-2\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}3+2t\\t\\-1-3t\end{pmatrix}
La droite \mathcal{D} admet pour vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}.
Or le M est le projeté orthogonal du point A si, et seulement si M\in\mathcal{D} et \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0.
Or \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=(3+2t)\times 2+t\times 1+(-1-3t)\times (-3)=14t+9.
Donc \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-9}{14}.
On en déduit :
\begin{cases} x = 2+2\times \left(\dfrac{-9}{14}\right) \cr \cr y = -1 + \left(\dfrac{-9}{14}\right) \cr \cr z = 1 - 3\times \left(\dfrac{-9}{14}\right) \end{cases}
c'est-à-dire,
M \left( \dfrac{5}{7};\dfrac{-23}{14};\dfrac{41}{14} \right).
Ainsi, M\left( \dfrac{5}{7}; -\dfrac{23}{14}; \dfrac{41}{14} \right) .
Soient A(1;0;0) un point de l'espace et \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = -2 - 2t \cr \cr y = 1 + 3t \cr \cr z = 1 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}
Quel est le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} ?
Soit M(x;y;z) \in \mathcal{D} le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} .
Par définition, il existe t \in \mathbb{R} tel que :
\begin{cases} x = -2-2t \cr \cr y = 1 + 3t \cr \cr z = 1 - t \end{cases}
On peut calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}x-1\\y\\z\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}-2-2t-1\\1+3t\\1-t\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}-3-2t\\1+3t\\1-t\end{pmatrix}
La droite \mathcal{D} admet pour vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}.
Or le M est le projeté orthogonal du point A si, et seulement si M\in\mathcal{D} et \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0.
Or \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=(-3-2t)\times (-2)+(1+3t)\times 3+(1-t)\times (-1)=14t+8.
Donc \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-4}{7}.
On en déduit :
\begin{cases} x = -2-2\times \left(\dfrac{-4}{7}\right) \cr \cr y = 1 + 3\times \left(\dfrac{-4}{7}\right) \cr \cr z = 1 - \left(\dfrac{-4}{7}\right) \end{cases}
c'est-à-dire,
M \left( \dfrac{-6}{7};\dfrac{-5}{7};\dfrac{11}{7} \right).
Ainsi, M\left(-\dfrac{6}{7}; -\dfrac{5}{7} ; \dfrac{11}{7} \right) .
Soient A(-4;1;-4) un point de l'espace et \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \cr \cr y = 2 + 2t \cr \cr z = 3 + 3t \end{cases}, t \in \mathbb{R}
Quel est le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} ?
Soit M(x;y;z) \in \mathcal{D} le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} .
Par définition, il existe t \in \mathbb{R} tel que :
\begin{cases} x = 1+t \cr \cr y = 2+2t \cr \cr z = 3+3t \end{cases}
On peut calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}x+4\\y-1\\z+4\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}1+t+4\\2+2t-1\\3+3t+4\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}5+t\\1+2t\\7+3t\end{pmatrix}
La droite \mathcal{D} admet pour vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.
Or le M est le projeté orthogonal du point A si, et seulement si M\in\mathcal{D} et \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0.
Or \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=(5+t)\times 1+(1+2t)\times 2+(7+3t)\times 3=14t+28.
Donc \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t=-2.
On en déduit :
\begin{cases} x = 1+(-2) \cr \cr y = 2+2\times (-2) \cr \cr z = 3+3\times (-2) \end{cases}
c'est-à-dire,
M \left( -1;-2;-3\right).
Ainsi, M\left(-1;-2;-3 \right) .
Soient A(1;2;1) un point de l'espace et \mathcal{D} la droite de représentation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \cr \cr y = 1 - 2t \cr \cr z = -1 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}
Quel est le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} ?
Soit M(x;y;z) \in \mathcal{D} le projeté orthogonal de A sur \mathcal{D} .
Par définition, il existe t \in \mathbb{R} tel que :
\begin{cases} x = 1+t \cr \cr y = 1 -2t \cr \cr z = -1 - t \end{cases}
On peut calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AM} :
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}x-1\\y-2\\z-1\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}1+t-1\\1-2t-2\\-1-t-1\end{pmatrix}
\overrightarrow{AM} \begin{pmatrix}t\\-1-2t\\-2-t\end{pmatrix}
La droite \mathcal{D} admet pour vecteur directeur le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix}.
Or le M est le projeté orthogonal du point A si, et seulement si M\in\mathcal{D} et \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0.
Or \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=t\times 1+(-1-2t)\times (-2)+(-2-t)\times (-1)=6t+4.
Donc \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-2}{3}.
On en déduit :
\begin{cases} x = 1+\left(\dfrac{-2}{3}\right) \cr \cr y = 1 -2\times \left(\dfrac{-2}{3}\right) \cr \cr z = -1 - \left(\dfrac{-2}{3}\right) \end{cases}
c'est-à-dire,
M \left( \dfrac{1}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{-1}{3} \right).
Ainsi, M\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{7}{3}; -\dfrac{1}{3} \right) .