Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.
Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?
Pour trouver la distance entre le point M et le plan \mathcal{P}, on doit trouver \left\| \overrightarrow{MH} \right\|, H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}.
- On cherche d'abord les coordonnées de H :
On sait que H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}, \overrightarrow{MH} est orthogonal à tout vecteur de \mathcal{P}.
À partir des données de l'énoncé, on peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z-1 \end{pmatrix} et \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-1 \cr\cr z \end{pmatrix}
On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow x-1 =0\\\Leftrightarrow x =1
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow y-1 =0\\\Leftrightarrow y =1
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow x(x-1) + y(y-1) + z(z-1) =0\\\Leftrightarrow z(z-1) = 0
On a remplacé dans le dernier produit scalaire x et y par 1.
z(z-1) = 0\\\Leftrightarrow \begin{cases} z=0 \cr \cr z-1=0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} z=0 \cr \cr z=1 \end{cases}
On remarque que, si z=0, le point H est confondu au point M, ce qui est impossible.
On a donc z=1.
D'où les coordonnées : H\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
- On calcule la distance de M à \mathcal{P} :
On peut déjà trouver \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
On a donc : \left\| \overrightarrow{MH} \right\|=\sqrt{1^2} = 1.
La distance entre M et \mathcal{P} est donc 1.
Ainsi, \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= 1.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.
Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?
Pour trouver la distance entre le point M et le plan \mathcal{P}, on doit trouver \left\| \overrightarrow{MH} \right\|, H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}.
- On cherche d'abord les coordonnées de H :
On sait que H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}, \overrightarrow{MH} est orthogonal à tout vecteur de \mathcal{P}.
À partir des données de l'énoncé, on peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} x \cr\cr y-1 \cr\cr z \end{pmatrix} et \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z-1 \end{pmatrix}
On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow x =0
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow x+z-1 =0\\\Leftrightarrow z =1 (en remplaçant x par 0
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow x^2 + y(y-1) + z(z-1) =0\\\Leftrightarrow y(y-1) = 0
On a remplacé dans le dernier produit scalaire x par 0 et y par 1.
y(y-1) = 0\\\Leftrightarrow \begin{cases} y=0 \cr \cr y-1=0 \end{cases}\\\Leftrightarrow \begin{cases} y=0 \cr \cr y=1 \end{cases}
On remarque que, si y=0, le point H est confondu au point M, ce qui est impossible.
On a donc y=1.
D'où les coordonnées : H\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
- On calcule la distance de M à \mathcal{P} :
On peut déjà trouver \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}.
On a donc :
\left\| \overrightarrow{MH} \right\|=\sqrt{1^2} = 1
La distance entre M et \mathcal{P} est donc 1.
Ainsi, \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= 1.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.
Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?
Pour trouver la distance entre le point M et le plan \mathcal{P}, on doit trouver \left\| \overrightarrow{MH} \right\|, H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}.
- On cherche d'abord les coordonnées de H :
On sait que H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}, \overrightarrow{MH} est orthogonal à tout vecteur de \mathcal{P}.
À partir des données de l'énoncé, on peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} x -1\cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} et \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-1 \cr\cr z-1 \end{pmatrix}.
On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow -(x-1) + y-1 =0\\\Leftrightarrow x=y
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow -(x-1) + z-1 =0\\\Leftrightarrow x =z
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow (x-1)^2 + y(y-1) + z(z-1) =0\\\Leftrightarrow (x-1)^2 + x(x-1) + x(x-1) = 0\\\Leftrightarrow (x-1)(x-1+x+x) = 0\\\Leftrightarrow (x-1)(3x-1) = 0
Car y=z=x.
(x-1)(3x-1) = 0\\\Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \cr \cr x=\dfrac{1}{3} \end{cases}
On remarque que, si x=1, alors y=z=1 : le point H est confondu au point M, ce qui est impossible.
On a donc x=y=z=\dfrac{1}{3}.
D'où les coordonnées : H\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
- On calcule la distance de M à \mathcal{P} :
On peut déjà trouver \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{3} \cr\cr -\dfrac{2}{3} \cr\cr -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.
On a donc :
\left\| \overrightarrow{MH} \right\|=\sqrt{\left( -\dfrac{2}{3} \right)^2 + \left( -\dfrac{2}{3} \right)^2 + \left( -\dfrac{2}{3} \right)^2 } \\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \sqrt{3\left(\dfrac{2}{3} \right)^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \dfrac{2}{3} \sqrt{3}
Ainsi, \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \dfrac{2\sqrt{3}}{3}.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.
Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?
Pour trouver la distance entre le point M et le plan \mathcal{P}, on doit trouver \left\| \overrightarrow{MH} \right\|, H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}.
- On cherche d'abord les coordonnées de H :
On sait que H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}, \overrightarrow{MH} est orthogonal à tout vecteur de \mathcal{P}.
À partir des données de l'énoncé, on peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} x -1\cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} et \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-1 \cr\cr z-1 \end{pmatrix}
On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow -(x-1) + y-1 =0\\\Leftrightarrow x=y
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow -(x-1) + y-1 + z-1 =0\\\Leftrightarrow -(x-1) + x-1 + z-1 =0\\\Leftrightarrow z =1 (en remplaçant y par x)
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow (x-1)^2 + y(y-1) + z(z-1) =0\\\Leftrightarrow (x-1)^2 + x(x-1) + 1(1-1) = 0\\\Leftrightarrow (x-1)(x-1+x) = 0\\\Leftrightarrow (x-1)(2x-1) = 0
Car y=x et z=1.
(x-1)(2x-1) = 0\\\Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \cr \cr x=\dfrac{1}{2} \end{cases}
On remarque que, si x=1, alors y=z=1 : le point H est confondu au point M, ce qui est impossible.
On a donc x=y=\dfrac{1}{2} et z=1.
D'où les coordonnées : H\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr \dfrac{1}{2} \cr\cr 1 \end{pmatrix}
- On calcule la distance de M à \mathcal{P} :
On peut déjà trouver \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} \cr\cr -\dfrac{1}{2} \cr\cr 0 \end{pmatrix}.
On a donc :
\left\| \overrightarrow{MH} \right\|=\sqrt{\left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 } \\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \sqrt{2\left(\dfrac{1}{2} \right)^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \dfrac{1}{2} \sqrt{2}
Ainsi, \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \dfrac{\sqrt{2}}{3}.
Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.
Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?
Pour trouver la distance entre le point M et le plan \mathcal{P}, on doit trouver \left\| \overrightarrow{MH} \right\|, H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}.
- On cherche d'abord les coordonnées de H :
On sait que H étant le projeté orthogonal de M sur \mathcal{P}, \overrightarrow{MH} est orthogonal à tout vecteur de \mathcal{P}.
À partir des données de l'énoncé, on peut trouver :
\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{AH}\begin{pmatrix} x -1\cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} et \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} x-1 \cr\cr y-1 \cr\cr z-1 \end{pmatrix}
On a :
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow y-1 =0\\\Leftrightarrow y=1
\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow -(x-1) + z-1 =0\\\Leftrightarrow x =z
\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{MH}=0\\\Leftrightarrow (x-1)^2 + y(y-1) + z(z-1) =0\\\Leftrightarrow (x-1)^2 + 1(1-1) + x(x-1) = 0\\\Leftrightarrow (x-1)(x-1+x) = 0\\\Leftrightarrow (x-1)(2x-1) = 0
Car z=x et y=1.
(x-1)(2x-1) = 0\\\Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \cr \cr x=\dfrac{1}{2} \end{cases}
On remarque que, si x=1, alors y=z=1 : le point H est confondu au point M, ce qui est impossible.
On a donc x=z=\dfrac{1}{2} et y=1.
D'où les coordonnées : H\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \cr\cr 1 \cr\cr \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
- On calcule la distance de M à \mathcal{P} :
On peut déjà trouver \overrightarrow{MH}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} \cr\cr 0 \cr\cr -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
On a donc :
\left\| \overrightarrow{MH} \right\|=\sqrt{\left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( -\dfrac{1}{2} \right)^2 } \\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \sqrt{2\left(\dfrac{1}{2} \right)^2}\\\Leftrightarrow \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \dfrac{1}{2} \sqrt{2}
Ainsi, \left\| \overrightarrow{MH} \right\|= \dfrac{\sqrt{2}}{2}.