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  4. Exercice : Déterminer la distance entre un point et un plan à l'aide du projeté orthogonal et du produit scalaire dans l'espace

Déterminer la distance entre un point et un plan à l'aide du projeté orthogonal et du produit scalaire dans l'espace Exercice

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.

Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.

Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.

Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.

Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?

Dans le repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), soit le plan \mathcal{P} défini par les trois points non alignés A\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 0 \cr\cr 0 \end{pmatrix}, B\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 0 \end{pmatrix} et C\begin{pmatrix} 0 \cr\cr 0 \cr\cr 1 \end{pmatrix}.
Soient le point M\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} n'appartenant pas à \mathcal{P}, et H\begin{pmatrix} x \cr\cr y \cr\cr z \end{pmatrix} son projeté orthogonal sur \mathcal{P}.

Quelle est la distance entre le point M et le plan \mathcal{P} ?