Étudier l'orthogonalité de deux droites dans l'espace Problème

Les coordonnées d'un vecteur dont on connaît deux des points sont : 
AB \: \begin{pmatrix} x_B - x_A \cr y_B - y_A \cr z_B - z_A \end{pmatrix}

Donc, avec les données de l'énoncé, on a : 
AB \: \begin{pmatrix} x_B - x_A \cr y_B - y_A \cr z_B - z_A \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 +1\cr 0-1 \cr -1-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2 \cr -1 \cr -3\end{pmatrix}
AC \: \begin{pmatrix} x_C - x_A \cr y_C - y_A \cr z_C - z_A \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0+1\cr 3-1 \cr 1-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cr 2 \cr -1\end{pmatrix}
AD \: \begin{pmatrix} x_D - x_A \cr y_D - y_A \cr z_D - z_A \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -8+1\cr 2-1 \cr -3-2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-7\cr 1 \cr -5\end{pmatrix}

Pour calculer un produit scalaire, on a deux solutions : soit utiliser les normes et un angle, soit passer directement par les coordonnées. Ici, on ne connaît pas de valeur d'angle, donc on utilise les coordonnées des vecteurs. 

D'après le cours, on sait que :
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v

Donc, ici : 
\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} = x_{AB} x_{AD} + y_{AB} y_{AD} + z_{AB} z_{AD} = 2\times (-7) + (-1) \times 1 + (-3) \times (-5) = 0  
\overrightarrow{AC} \cdot\overrightarrow{AD} = x_{AC} x_{AD} + y_{AC} y_{AD} + z_{AC} z_{AD} = 1\times (-7) + 2 \times 1 + (-1) \times (-5) = 0  

Finalement, on a :
\overrightarrow{AC} \cdot\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} = 0

Les points A, B et C ne sont pas alignés car les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires de manière évidente. 

Ainsi, les points A, B et C définissent un plan.

Comme \overrightarrow{AD} est orthogonal à \overrightarrow{AB} et à \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan, alors il est orthogonal au plan.