Identifier le projeté orthogonal d'un vecteur sur une droite dans l'espace - Tle - Exercice Mathématiques

Soit \vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} un vecteur de l'espace et \mathcal{D} la droite d'équation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \cr \cr y = 1 + 2t \cr \cr z = -1 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}

Quel est le projeté orthogonal de \vec{u} sur \mathcal{D} ?

\vec{v} \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{1}{3} \cr\cr -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \cr\cr -\dfrac{5}{3} \cr\cr \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{5}{3} \cr\cr \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} \cr\cr -\dfrac{5}{3} \cr\cr -\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}

Soient \vec{u}\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix} un vecteur de l'espace et \mathcal{D} la droite d'équation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = 2 + 2t \cr \cr y = -1 + t \cr \cr z = 1 - 3t \end{cases}, t \in \mathbb{R}

Quel est le projeté orthogonal de \vec{u} sur \mathcal{D} ?

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{15}{7} \cr\cr \dfrac{13}{14} \cr\cr \dfrac{11}{14} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{11}{14} \cr\cr \dfrac{13}{14} \cr\cr \dfrac{15}{7} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{15}{7} \cr\cr -\dfrac{13}{14} \cr\cr \dfrac{11}{14} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{15}{7} \cr\cr \dfrac{13}{14} \cr\cr -\dfrac{11}{14} \end{pmatrix}

Soient \vec{u}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} un vecteur de l'espace et \mathcal{D} la droite d'équation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = -2 - 2t \cr \cr y = 1 + 3t \cr \cr z = 1 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}

Quel est le projeté orthogonal de \vec{u} sur \mathcal{D} ?

\vec{v} \begin{pmatrix} - \dfrac{22}{14} \cr\cr \dfrac{5}{14} \cr\cr \dfrac{17}{14} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} - \dfrac{22}{14} \cr\cr \dfrac{3}{14} \cr\cr \dfrac{17}{14} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} - \dfrac{22}{14} \cr\cr \dfrac{5}{14} \cr\cr \dfrac{7}{15} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} - \dfrac{22}{14} \cr\cr \dfrac{8}{14} \cr\cr \dfrac{17}{14} \end{pmatrix}

Soient \vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} un vecteur de l'espace et \mathcal{D} la droite d'équation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \cr \cr y = 2 + 2t \cr \cr z = 3 + 3t \end{cases}, t \in \mathbb{R}

Quel est le projeté orthogonal de \vec{u} sur \mathcal{D} ?

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{3}{7}\cr\cr \dfrac{6}{7} \cr\cr \dfrac{9}{7} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{3}{7}\cr\cr \dfrac{5}{7} \cr\cr \dfrac{8}{7} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{4}{7}\cr\cr \dfrac{6}{7} \cr\cr \dfrac{9}{7} \end{pmatrix}

\vec{v} \begin{pmatrix} \dfrac{3}{7}\cr\cr \dfrac{9}{7} \cr\cr \dfrac{11}{7} \end{pmatrix}

Soient \vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix} un vecteur de l'espace et \mathcal{D} la droite d'équation paramétrique :
\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \cr \cr y = 1 - 2t \cr \cr z = -1 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}

Quel est le projeté orthogonal de \vec{u} sur \mathcal{D} ?

\vec{v} \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} \cr\cr 4 \cr\cr \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}